三角函数的图像与性质(学案)

第1页共3页三角函数图象与性质（学案）1．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为()．A．2B.12C．4D.14解析由已知y＝cosx的图象经变换后得到y＝cos12x的图象，所以ω＝12.答案B2．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析将(0,1)点代入f(x)可得sinφ＝12.∵|φ|π2，∴φ＝π6，T＝2ππ3＝6.答案A3．下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图象关于x＝π3对称的是()．A．y＝sinx2＋π6B．y＝sin2x＋π6C．y＝sin2x－π3D．y＝sin2x－π6解析∵T＝π，∴排除A；又因为图象关于x＝π3对称．∴当x＝π3时，y取得最大值(最小值)．代入B、C、D三项验证知D正确．答案D4．先作函数y＝sinx的图象关于y轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________．解析作函数y＝sinx的图象关于y轴的对称图象，其函数解析式为y＝sin(－x)，再将函数y＝sin(－x)的图象向左平移π4个单位，得到函数图象的函数解析式为：y＝sin－x＋π4＝sin－x－π4.答案y＝sin－x－π45．先将y＝sinx的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω0)的图象，则ω＝________，φ＝________.解析由已知得到函数解析式为y＝sinωx－π5且2πω＝2π3，∴ω＝3，φ＝－π5.答案3－π56．已知f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求出使f(x)取得最大值时x的集合．解(1)由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)得，x∈kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．即f(x)的单调增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)；由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)得，x∈kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)，即f(x)的单调减区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．(2)因为x∈0，π2时，所以π6≤2x＋π6≤7π6，－12≤sin2x＋π6≤1，可见f(x)的最大值为2＋a＋1故a＝1.第2页共3页(3)f(x)取得最大值时，2x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π6(k∈Z)，所以，当f(x)取得最大值时x的集合是x|x＝kπ＋π6，k∈Z.7．下列命题正确的是()．A．y＝cosx的图象向右平移π2得y＝sinx的图象B．y＝sinx的图象向右平移π2得y＝cosx的图象C．当φ0时，y＝sinx向左平移|φ|个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象D．y＝sin2x＋π3的图象由y＝sin2x的图象向左平移π3个单位得到解析将y＝sinx的图象向右平移π2得y＝sinx－π2即y＝－cosx的图象，可知B错；当φ0时，y＝sinx向左平移|φ|个单位可得y＝sin(x－φ)的图象，可知C错；将y＝sin2x向左平移π3个单位得y＝sin2x＋23π的图象，可知D错．答案A8．已知函数y＝sin()ωx＋φω0，|φ|π2的部分图象如图，则()．A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6解析由图象知T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－π6(k∈Z)．又|φ|π2，∴φ＝－π6.答案D9．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在一个周期内当x＝π12时，有最大值2，当x＝7π12时有最小值－2，则ω＝________.解析由题意知T＝2×7π12－π12＝π.∴ω＝2πT＝2.答案210．(2012·枣庄高一检测)关于f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos2x－π6；③y＝f(x)图象关于点－π6，0对称；④y＝f(x)图象关于直线＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．解析对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ(k∈Z)．∴x＝k2π－π6(k∈Z)，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错误；对于②，由f(x)＝4sin2x＋π3可得f(x)＝4cosπ2－2x＋π3＝4cos2x－π6.∴②正确；对于③，f(x)＝4sin2x＋π3的对称中心满足2x＋π3＝kπ(k∈Z)，∴x＝k2π－π6(k∈Z)，∴－π6，0是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2第3页共3页＋kπ(k∈Z)，∴x＝π12＋kπ2(k∈Z)．∴④错误．答案②③11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)写出f(x)的递增区间．解(1)由图可以得出A＝2，ω＝π6－－＝π8，由π8·(－2)＋φ＝0得φ＝π4，∴f(x)＝2sinπ8x＋π4.(2)令2kπ－π2≤π8x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.12．(创新拓展)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)上的一个最高点的坐标为π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38π，0，若φ∈－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解(1)依题意，A＝2，T＝4×38π－π8＝π.∵T＝2π|ω|＝π，ω0，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)，又曲线上的最高点为π8，2，∴sin2×π8＋φ＝1.∵－π2φπ2，∴φ＝π4.∴y＝2sin2x＋π4.(2)列出x、y的对应值表：x0π838π58π78ππ2x＋π4π4π2π32π2π9π4y120－201作图如下：