三角函数的图象和性质练习题

第1页共6页[来源:中。教。网z。z。s。tep]【A级】基础训练1．(2013·济南市高考模拟)函数y＝sinxsinπ2＋x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解析：y＝sinxcosx＝12sin2x∴T＝π.答案：B2．(2013·乌鲁木齐地区诊断)已知函数f(x)＝Asinπ3x＋π6(A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A的值为()A．1B．2C．3D．4解析：依题意得，函数f(x)的最小正周期为6，于是其图象上最高点与最低点的距离为2A2＋622＝5，解得A＝2，A＝－2(舍去)，选B.答案：B3．(2013·山西省四校联考)设函数f(x)＝sinωx＋2π3＋sin(ωx－2π3)(ω＞0)的最小正周期为π，则()A．f(x)在0，π2上单调递减B．f(x)在0，π4上单调递增C．f(x)在0，π2上单调递增D．f(x)在0，π4上单调递减解析：依题意得f(x)＝2sinωxcos2π3＝－sinωx，2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝－sin2x，易知该函数在0，π4上单调递减，选D.答案：D[来源:中*国教*育出*版网]4．若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．解析：T＝πk，1＜πk＜2，π2＜k＜π，第2页共6页而k∈N⇒k＝2或3.答案：2或35．当－π2≤x≤π2，函数y＝sinx＋3cosx的最大值为________，最小值为________．解析：y＝2sinx＋π3，－π6≤x＋π3≤5π6，∴－12≤sinx＋π3≤1，∴－1≤y≤2，故ymax＝2，ymin＝－1.答案：2－16．函数y＝1－tanx的定义域是________．解析：由1－tanx≥0，得tanx≤1，∴kπ－π2＜x≤kπ＋π4(k∈Z)．答案：kπ－π2，kπ＋π4(k∈Z)7．已知y＝a－bcos3x(b＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值及取得最值时的x，并判断其奇偶性．解：依题意得a＋b＝32a－b＝－12，∴a＝12b＝1.∴y＝－4asin(3bx)＝－2sin3x，则周期T＝2π3.当3x＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝2kπ3＋π6(k∈Z)时，ymin＝－2，当3x＝2kπ－π2(k∈Z)，[来源:gkstk]即x＝2kπ3－π6(k∈Z)时，ymax＝2，记f(x)＝－2sin3x，∵f(－x)＝－2sin3(－x)＝－2sin(－3x)＝2sin3x＝－f(x)，[来源:zzstep.com]∴f(x)为奇函数．8．(2013·西城区期末考试)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈[π2，π]．(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．解：(1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，第3页共6页所以sinx＝0或tanx＝－33.由sinx＝0，x∈π2，π，得x＝π；由tanx＝－33，x∈π2，π，得x＝5π6.综上，函数f(x)的零点为5π6或π.(2)f(x)＝32(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x－π3＋32.[来源:gkstk]因为x∈π2，π，所以2x－π3∈2π3，5π3.所以当2x－π3＝2π3，即x＝π2时，f(x)的最大值为3；当2x－π3＝3π2，即x＝11π12时，f(x)的最小值为－1＋32.【B级】能力提升1．(2013·海淀区第一学期)已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命题中假命题是()A．f(x)既不是奇函数也不是偶函数[来源:gkstk.Com]B．f(x)在[－π，0]上恰有一个零点C．f(x)是周期函数D．f(x)在π2，56π上是增函数[来源:中+教+网z+z+s+tep]解析：∵fπ2＝1，f－π2＝－1，即f(－x)≠f(x)，∴f(x)不是偶函数，∵x∈R，f(0)＝1≠0，∴f(x)不是奇函数，故A为真命题；令f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝0，则sin2x－sinx－1＝0，解得sinx＝1±52，当x∈[－π，0]时，sinx＝1－52，由正弦函数图象可知函数f(x)在[－π，0]上有两个零点，故B为假命题；∵f(x)＝f(x＋2π)，∴T＝2π，故函数f(x)为周期函数，C为真命题；∵f′(x)＝2cosx·(－sinx)＋cosx＝cosx·(1－2sinx)，当x∈π2，5π6时，cosx＜0，12＜sinx＜1，∴f′(x)＝cosx·(1－2sinx)＞0，∴f(x)在π2，56π上是增函数，D为真命题．故选B.答案：B2．(2013·江南十校高三联考)已知函数f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，第4页共6页则实数m的值为()A.12B．－12C.32D．－32解析：假设方程f(x)＝m的两个实根x3＜x4.由函数f(x)＝cosx(x∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列，可得π2＜x3＜x4＜3π2，x3＋x4＝π2＋3π2＝2π①，由题意得2x3＝π2＋x4②，由①②可得x3＝5π6，所以m＝cos5π6＝－32，选D.答案：D3．(2013·郑州质量检测)已知曲线y＝2sinx＋π4·cosπ4－x与直线y＝12相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|P1P5→|等于()[来源:gkstkgkstk]A．πB．2πC．3πD．4π[来源:gkstkgkstk]解析：注意到y＝2sinx＋π4cosπ4－x＝2sin2x＋π4＝1－cos2x＋π4＝1＋sin2x，又函数y＝1＋sin2x的最小正周期是2π2＝π，结合函数y＝1＋sin2x的图象(如图所示)可知，|P1P5→|＝2π，选B.答案：B4．(2013·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，则ω的值为________．解析：由kπ＋7π12－kπ－5π12＝π得函数f(x)的周期为π，则ω＝2.答案：25．设函数f(x)＝3sinπ2x＋π4，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．[来源:zzstep.com]解析：f(x)＝3sinπ2x＋π4的周期T＝2π×2π＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值第5页共6页和最大值，故|x1－x2|的最小值为T2＝2.答案：26．(2013·济南模拟)给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是________．①若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ，k∈Z；②函数y＝2cos2x＋π3的图象关于x＝π12对称；③函数y＝cos(sinx)(x∈R)为偶函数；④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.解析：①cosx＝cosβ时，cosα＝cos(2kπ＋β)∴α－β＝2kπ或者cosα＝cos(2kπ－β)∴α＋β＝2kπ，①错②当x＝π12，y＝2cos2×π12＋π3＝0，②错③f(－x)＝cos[sin(－x)]＝cos[－sinx]＝cos(sinx)＝f(x)，③对④错，y＝sin|x|不是周期函数．答案：①②④7．(2013·日照二次诊断)已知向量a＝(cosωx，3sin(π－ωx))，b＝cosωx，sinπ2＋ωx，ω＞0，函数f(x)＝2a·b＋1的最小正周期为2.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间0，12上的取值范围．解：(1)f(x)＝2a·b＋1＝2cos2ωx＋3sinπ－ωx·sinπ2＋ωx＋1[来源:中§教§网z§z§s§tep]＝2cos2ωx＋23sin(π－ωx)sinπ2＋ωx＋1＝cos2ωx＋23sinωxcosωx＋2＝cos2ωx＋3sin2ωx＋2＝212cos2ωx＋32sin2ωx＋2＝2sin2ωx＋π6＋2.因为函数f(x)的最小正周期为2，且ω＞0，所以2π2ω＝2，解得ω＝π2.(2)由(1)得f(x)＝2sinπx＋π6＋2，第6页共6页因为0≤x≤12，所以π6≤πx＋π6≤2π3，所以12≤sinπx＋π6≤1，因此3≤2sinπx＋π6＋2≤4，即f(x)在区间0，12上的取值范围为[3,4]．