三角函数的应用(一)

三角函数的应用(一)–––第1页三角函数的应用(一)执教：钱如平班级：高三(1)地点：本教室时间：2002．11．21教学目标：合理地运用三角换元法及三角函数的有关知识解决数学问题，将三角知识与其他知识有机结合以培养学生综合运用知识解题的能力教学方法：讲练结合教学重点：三角函数及三角式的恒等变形，实际问题三角化教学难点：将实际问题转化为三角问题新课引入：三角是高中代数的重要内容之一，每年的高考试题中约有30来分，在复习中要注意三角函数及三角式的恒等变形。在许多数学问题中，三角是作为工具应用的，有时运用“三角换元法”可将其他问题转化为三角问题，有时在解题中需将其他知识与三角知识有机地结合起来。小题训练：(1)若x∈(0，2)，则函数y＝(1－sinx)·(1－cos2x)的最大值是（）（A）41（B）)32(43（C）274（D）278提示：y＝(1－sinx)·2sin2x＝(2－2sinx)·sinx·sinx∵x∈(0，2)∴sinx＞0，1－sinx＞0∴y≤33sinxsinx2sinx-2＝278当且仅当2－2sinx＝sinx即sinx＝32时取等号，故选（D）说明：本题将三角知识与基本不等式有机地结合了起来(2)已知x、y∈R＋，且191yx，则x＋y的最小值为（）（A）12（B）16（C）6（D）24提示：∵x、y∈R＋，且191yx∴可令x1＝cos2α，y9＝sin2α，α∈(0，2)∴x＋y＝sec2α＋9csc2α＝10＋(tan2α＋9cot2α)≥10＋6＝16三角函数的应用(一)–––第2页当且仅当tan2α＝9cot2α即tan2α＝3时等号成立说明：1°本题巧妙地运用三角换元法化繁为简，便于求解。此题用其他方法（如基本不等式或化归为关于x的分式函数），则易错且麻烦。2°这里限定α∈(0，2)是非常有必要的（为什么？）3°非三角问题转化为三角问题有时是较方便的。一般地，形如：x、y∈R＋，x＋y＝1(或r2)；x、y∈R＋，x－y＝1(或r2)x2＋y2＝1(或r2)x2－y2＝1(或r2)12222byax12222byax的条件均可考虑用三角换元法将其三角化．．．(3)P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝2α，则椭圆的离心率等于（）（A）2cosα－1（B）2sinα－1（C）1－sinα（D）1－cosα提示：在△PF1F2中，由正弦定理有：)3sin(||sin||2sin||2121FFPFPF由合分比定理知：3sin||sin2sin||||2121FFPFPF即3sin2sin2sin2ca∴e＝sin2sin3sin22ac＝1cos21cos4)cos21(sin2sincos2cossin2＝2cosα－1或：e＝sin2sin3sin22ac＝2cos2cos32cos42cos23cos21cos23sin223cos23sin22＝4cos22－3＝2cosα－1（这里要记住三倍角公式）说明：1°本题将三角知识与解几知识结合在一起，并综合用到椭圆的定义、正弦定理、合分比定理等知识，是一道综合题2°这里可将2α推广到一般的角β来求离心率（留作作业），并且对双曲线也有同样的问题可解决3°本题是否可考虑用特殊值来处理？如令α＝30°(令α＝45°就不能一步到位地解决)注：一般说来，特殊化考虑总要较一般化考虑来得更方便，但这里似乎是个反常（留作学生思考）xyOPF1F22三角函数的应用(一)–––第3页(4)函数y＝x＋21x的值域是提示：∵1－x2≥0∴x∈[－1，1]令x＝cosα，α∈[0，π]则y＝cosθ＋2cos1＝cosθ＋sinθ＝2sin(4)∵4∈[4，45]∴sin(4)∈[－22，1]∴y∈[－1，2]说明：1°本题采用了三角换元法，注意对角的范围的限制2°若改为求函数y＝x＋21x的最值，又如何换元？(5)若复数z的模为1，辐角θ∈[6，3]，则|z2＋z－2|的取值范围是：提示：设z＝cosθ＋isinθ，θ∈[6，3]|z2＋z－2|＝|cos2θ＋isin2θ＋cos2θ－isin2θ|＝2|cos2θ|∵2θ∈[3，32]∴－21≤cos2θ≤21∴2|cos2θ|∈[0，1]例1．设复数z1、z2的模都是1，辐角分别是α和α－2，其中α∈(，2)，已知z1＋2z＝－1317－1317i，求tgα的值。解：由题意：z1＝cosα＋isinα，z2＝cos(α－2)＋isin(α－2)＝sinα－icosα∴z1＋2z＝(cosα＋sinα)＋i(cosα＋sinα)＝－1317－1317i∴cosα＋sinα＝－1317两边平方得：sin2α＝169120∵2α∈(2π，4π)∴cos2α＝±169119∴tanα＝2sin2cos1＝125或512或：sinαcosα＝16960∴sinα、cosα是一元二次方程x2＋1317x＋16960＝0的两根∴135cos1312sin1312cos135sin或∴tanα＝125或512说明：此题明显应将z1、z2用三角形式表达，然后由共轭复数概念得到三角关系式，是道基本题，可让学生独立完成例2．水渠横断面为等腰梯形（如图所示），渠深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰ABCDh三角函数的应用(一)–––第4页2x1y及下底边长之和为最小，问此时腰与下底夹角α应该是多少？分析：这里涉及多个字母，首先应搞清已知条件中哪些字母是定值，哪些字母是变量解：由已知：CE＝hcotαBC＝hcscα∵S＝hCDAB2＝hCECD222＝(CD＋hcotα)h∴CD＝hS－hcotα设两腰及下底边长之和为l，则l＝CD＋2BC＝hS－hcotα＋2hcscα＝hS－sin2coshα∈(0，2)令f(α)＝sin2cos，α∈(0，2)要求l的最小值就是要求f(α)的最大值∵f(α)表示两点(sinα，cosα)、(0，2)连线的斜率∴f(α)max＝－33∴lmin＝hS＋33h当l取最小值时α＝3∴当腰与下底夹角α为3时渠道渗水量最小说明：1°得到l＝hS－sin2coshα∈(0，2)后也可用万能置换法解令m＝tan2∈(0，1)，则sin2cos＝mmmmmm213121122222≥3当且仅当tan2＝m＝33∈(0，1)即α＝3时取等号2°这是一个实际应用题，将其转化为三角问题来解思路自然，条理清晰3°此题分析后直接将解答过程用幻灯打出，以节省时间小结：1°利用“三角换元法”可将其他问题转化为三角问题，但要注意角的范围是否要作限制；若要限制，应如何限制？2°应注意三角知识与其他知识如复数、基本不等式、解析几何、实际应用题的结合作业：P1712、3、4