力法.

第五章力法本章学习指导力法是解算超静定结构的基本方法之一，也是学习其它基本方法的基础，十分重要。本章首先要求熟练掌握力法基本结构的确定，力法典型方程的建立，方程中系数和自由项的计算。并理解典型方程的物理意义。其次要求熟练掌握力法解刚架，掌握力法解珩架，了解力法解两铰拱、无铰拱等其他超静定结构的计算特点。（无铰拱只有路、水专业才考）。本章的重点：荷载作用下超静定刚架的计算。支座位移的影响要求理解。也要求会利用对称条件，还要求掌握等代半刚架的取法。§5-1超静定结构的性质超静定次数的确定计算超静定结构的基本方法一、超静定结构的性质：超静定结构又名静不定结构。1、超静定结构的静力特征：仅仅根据平衡条件不能求出其全部内力(包括支座反力)。2、超静定结构的几何特征：超静定结构是有多余联系（约束）的几何不变体系。多余联系是指去掉它时体系仍能保持几何不变的联系。如图5-1(a)中，支杆A、B、C均可视为为多余联系，单独去掉A(或B或C)仍然是几何不变体系，但是不能同时去掉三个，只能去掉1个，所以该结构只有一个多余联系。图5-1ααABDCXRDpp需要说明的是，多余联系不是没用的，它可以减小结构的最大弯矩和挠度，增强结构的刚性。与多余联系相对应的，还有必要联系，去掉它时结构就会成为几何可变体系，例如图5-1(a)中的水平支杆D就是必要联系，去掉它结构就会成为几何可变体系。3、多余联系的反力：多余联系的反力，只利用平衡条件是求不出来的。如上图中支杆B的反力X，与外载一样，不论它等于多少，图(b)所示的静定梁都能平衡，因此不可能由平衡条件确定其值。所以，称多余联系的反力为超静定反力或静不定力或多余力。与此相反，必要联系的反力，一定能由平衡条件确定，因为它是维持平衡所必需的。如图5-1中，支杆D是用以阻止水平位移的，它的反力RD可由平衡方程ΣX=0求出：RD=pcosα4、超静定结构的基本性质：根据超静定结构的静力特征和几何特征，超静定结构具有下列基本性质：1)、仅由平衡条件不能确定多余联系的反力，欲确定还必须考察变形条件。2)、内力分布与材料的物理性能和截面几何性质有关。3)、当支座位移、温度改变、尺寸不准时均可产生内力。如图5-2(a)静定梁支座只发生刚性位移而不产生内力，而超静定梁(图b)支座位移时将产生内力。4)、由于多余联系毁坏时，体系仍保持几何不变，因此，超静定结构较静定结构具有较强的防御能力。5)、超静定结构整体性强，受力较为均匀(图5-3)。图5-2图5-3ABAB（a）（b）pp二、超静定次数的确定：1、超静定次数的定义：多余联系的数目或静不定力的数目，称为超静定次数。2、确定超静定次数的方法：a)、一个结构去掉n个联系后即变为静定结构，它的超静定次数就等于n；b)、一个结构变成静定结构后即暴露出n个静不定力，它的超静定次数就等于n。3、去掉多余联系的方式：a)、去掉几个支杆相当于去掉几个联系(图5-4)；b)、去掉一个单铰相当于去掉两个联系(图5-5)；（b）(a)x1x2x1x2x1x2（a）（b）图5-4图5-5c)、在超静定结构上作一个切口暴露出3个静不定力，相当于去掉3个联系(图5-6)。d)、在一个连续杆上加1个单铰(图5-7)去掉1个联系，若加一连接N个杆件的复铰，则相当于去掉(N-1)个联系。e)、切断超静定结构中的一个珩架杆，暴露出一个静不定力，相当于去掉一个多余联系(图5-9)。ABCDABCD（a）（b）（a）（b）（b）x1x1AABB（a）（b）（a）x2x2x1x1xx33x1x1图5-6图5-8图5-7图5-9ABCDABCD（a）（b）（a）（b）（b）x1x1AABB（a）（b）（a）x2x2x1x1xx33x1x14、确定超静定次数举例：例5-1确定图5-10(a)所示结构的超静定次数。[解]去掉一个支杆C即变为静定的三铰刚架，则该结构超静定次数：n=1。（a）xxxxxx（a）（b）（b）AABBx1x1x1x2x2x3x3556644ABCDC图5-10图5-11例5-2确定图5-11(a)所示结构的超静定次数。[解]切断AB杆、BC杆，并去掉铰D后化为静定体系(图b)。切断AB暴露1个静不定力，切断BC暴露3个静不定力，去掉铰D暴露出2个静不定力。所以n=6。4、确定超静定次数举例：例5-3确定图5-12(a)所示结构的超静定次数。[解]图示绗架无多余支杆，右部EBDC中无多余杆件，而左部ABEF中有一多余杆件，切断一杆后得静定绗架(图b)。所以原结构超静定次数：n=1。xxxxx332211（a）（b）（b）BACDEFx1x1x例5-4确定闭合框(图5-13a)的超静定次数。[解]切开一个切口得图(b)所示体系，暴露出来的3对内力X1、X2、X3均为静不定力，将由变形条件确定，所以：n=3。图5-13图5-124、确定超静定次数举例：例5-5确定多层刚架(图5-14a)的超静定次数。[解]切开3个切口，即得图(b)所示的静定结构，出现了3×3个静不定力，因此：n=9。也可由闭合框的数目来确定：3个闭合框，每个3次，所以：n=9。另外，还可借助无铰多层刚架(图a)判断有铰多层刚架(图c)的超静定次数：(图c)比(图a)多了6个单铰，每个单铰减少1个联系，即：9-6=3。（c）（3）（3）（3）（b）图5-144、确定超静定次数举例：这里，还需要说明，同一个超静定结构可以化成不同的静定结构。如图5-15(a)所示的两跨连续梁，可以去掉中间支座，暴露出一个静不定支座反力X1，化成简支梁(图b)。也可以在一个截面上加铰(图c)，暴露出该截面上的弯矩X1，化成多跨静定梁。还可把铰加在中间支座上，将原有半铰化成全铰(去掉1个约束)，将两跨连续梁化成两跨简支梁(图d)。也可以化为其它静定结构，计算结果是一样的(此例n=1)，但计算过程的繁简会有所不同。X1X1X1X1X1图5-15§5-1超静定结构的性质超静定次数的确定计算超静定结构的基本方法三、计算超静定结构的基本方法：计算超静定结构的基本方法是—力法和位移法。力法是以力为基本未知量，先把力求出来，再求位移。位移法是以位移(结点角位移及线位移)为基本未知量，先求位移，后求力。无论力法或位移法，其共同思路是：把不会算(不能直接处理)的结构(超静定结构)，通过会算(能直接处理)的结构(静定结构)来计算，这个结构称为基本结构。其步骤为：1、化为基本结构：即把超静定结构化为静定结构。例如把多余约束去掉，用未知力代替，作为基本未知量，从而把原有超静定结构化为静定结构；2、计算基本未知量的数值：根据超静定结构的变形条件，利用计算静定结构位移的方法列出一组方程，求出基本未知量，即多余约束的反力，继而求出其余未知量。§5-2荷载作用下用力法计算超静定刚架图5-16(a)所示两次超静定刚架，去掉两个多余支杆变为静定结构，以两个支反力X1、X2代替原有支杆作为基本未知量。这就是说，原结构在该点若无支杆将发生位移∆1、∆2，加支杆之后，使得X1=0、X2=0。现在以两个支反力X1、X2代替原有支杆也应该满足这个条件，即：图5-160021ppXXXX2222121212121111　(b)(a)ιιppX1ΔΔ　21X　2ιEI44EIEI∆1、∆2是p、X1、X2共同作用下产生的基本结构的位移。按叠加原理可得式(5.2)。(5.2)(5.1)上式中：δij为Xj=1产生的Xi作用点沿Xi方向的位移；头一个脚标代表位移的地点和方向，第二个脚标代表产生位移的原因。同样地，∆iP为外载p作用下产生的Xi作用点沿Xi方向的位移。综上所述则有：0022221211212111ppXXXXEIdsMMpiip该式称为力法典型方程。式中所有系数和常数项均为基本结构—静定结构的位移，可按第四章所讲的单位荷载法计算。求位移的算式为：（5.3）（5.4）EIdsMMpiip求位移的算式为：式中：Mp为产生位移∆ip的力所引起的弯矩图，为沿所求位移方向虚拟单位力引起的弯矩图。为了求出典型方程中的系数和常数项，现给出、和图，如图5-17所示。iM(c)　(b)(a)XX　2p1=1=1M1M2Mpιιιιιp图5-171M2MPMPM对于δij，由于它是Xi方向的位移，所以状态i上应沿Xi方向作用单位力，图即为位移算式中的图；又因δij是Xj=1产生的，作用Xj=1的状态就是状态p，所以图又是位移算式中的Mp图，即：1MEIdsMM1111212112EIdsMMEIdsMM2222EIdsMMpp22EIdsMMpp11同理δ12、δ21、δ22、及∆1p、∆2p的算式如下：以上各式中δ11、δ22称为主系数，δ12、δ21称为副系数，∆1p、∆2p称为荷载项或常数项。iM1M二、解算超静定刚架举例：例5-6采用不同的基本结构，解算一端固定，一端铰支梁(图5-18a)，并绘弯矩图。EI=常数。（1）采用悬臂梁作为基本结构（图5-19a）只有一个未知力X1，变形条件为：Δ1=0即原结构右端无竖向位移。图5-19ABPl/2l/2图5-18ABPl/2l/2PX1X1=1lpl/2MM1P5Pl/16MX113Pl/165Pl/32M(a)(b)(c)(d)(e)但是按照叠加原理，该杆右端的位移应该是由原有荷载P和未知反力X1共同产生的，即：Δ1=δ11X1+Δ1P于是变形条件为δ11X1+Δ1P=0,即原结构右端无竖向位移。式中：δ11为X1=1时在1点（杆右端）产生的位移，Δ1P为原有荷载P在1点产生的位移。根据上一章讲述的荷载作用下求静定结构位移的方法，先画X1=1时的弯矩图如图5-19（b）和荷载P作用下的弯矩图如图5-19（c），再画在杆右端加一单位广义力时的弯矩图，其实就是一个与（b）图完全相同的图形，因此不必重画。据此可得：PXEIPlllPlEIEIdsMMEIllllEIEIdsMMPPP1654856522211332211111131131111最后用叠加法绘制最终弯矩图：可先画反力X1的弯矩图如图5-19（d），再画总弯矩图如图5-19（e）。（2）去掉左端A约束转角的联系，取端力矩为基本未知量，以简支梁为基本结构（图5-20a)。PMXMM11Pl/2l/2X1(b)(c)X=1111/l1/lPPl/4MM1PP/2P/2图5-20PlXEIPllPlEIEIdsMMEIlllEIEIdsMMPPP16316214211332121111112111111最终弯矩图同图5-19e§5-3支座位移时用力法计算超静定刚架例5-15一端固定另端铰支梁(图5-36a)，铰支座发生位移∆，求由此而产生的弯矩图。[解]1、去掉发生位移的支杆，作为基本结构(图b)。基本结构上只有X1作用，因此：∆1=δ11•X1它应等于原结构此处的位移∆即：δ11•X1=∆EIdsMM1111EIEI33221331113EIX11XMM图5-36绘弯矩图：如图(d)。ABX1X1=1MM3EIι　Δ2EI，ιΔι（a）（d）（c）[解]2、保留右端支杆，去掉固定端限制转角的联系，以力矩X1为基本未知量，简支梁为基本结构(图5-37a)。1R=1ι1XΔΔ1c1X1=1MM3EIι　Δ2Δι（d）（c）图5-36这个基本结构的位移由两项组成：∆1=δ11•X1+∆1c由于原结构左端固定，转角为零，所以δ11•X1+∆1c=0式中：EIEIEIdsMM311321211111C111C(近似正切)，也可