三角形(一)学案

三角形（一）学案一、教学目标1、了解三角形的有关概念，会画三角形的角平分线、中线和高。2、会对三角形进行分类。3、掌握三角形的三边关系。4、掌握三角形内、外角和定理。二、知识点回顾三角形三边关系，三角形的内角和定理，三角形的三条重要线段（角平分线、中线和高线）的概念，三、例题选讲例1、△ABC两边长分别为2和5，第三边长为偶数，求其周长。分析：先根据三角形三边关系求出第三边的范围。解：根据三角形的三边关系得到第三边X的范围是3X7,因为X为偶数,所以X=4或6,周长为11或13.例2、△ABC中∠A=80度，BE、CD是三角形的内角平分线，BE、CD相交于O点，则∠BOC是多少度？若BD、CE是三角形的外角平分线呢？又若BD是内角平分线CE是外角平分线呢？431CEABMABCDABCONDOM图1图2图3分析：根据三角形的内角和定理和角平分线的定义可以求出∠BOC，在图2、3的基础上构造出图1的基本图形，可由邻补角的角平分线互相垂直求出∠BOC的度数。解：∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠4=∠3，∠1=∠2。∴∠BOC=180-（∠4+∠2）=180-1/2（∠ABC+∠ACB）=180-1/2（180-∠A）=90+1/2∠A图2中，作∠ABC、∠ACB的角平分线交于N点，则∠NBO=∠NCO=90，∴∠BNC+∠BOC=180，∴∠BOC=180-（90+1/2∠A）=90-1/2∠A。图3中，作∠ACB的角平分线交BE于M，则∠MCD=90，∵∠BMC=90+1/2∠A=∠MCO+∠MOC=90+∠MOC，∴∠BOC=1/2∠A。例3如图，把△ABC纸片沿DE折叠，试猜想∠A与∠1+∠2的数量关系，并说明理由。21BDEAF分析：因为是折叠，所以延长BD、CE交于F，所以∠DAE=∠DFE，∠1=∠DAF+∠DFA∠2=∠EAF+∠EFA，∠1+∠2=∠DAE+∠DFE。所以∠1+∠2=2∠DAE。四、课外练习（一）选择题1、已知一个等腰三角形的底边长为5，腰长为x，则x的取值范围是（）A0＜x＜2.5Bx≥2.5Cx＞2.5D0＜x＜102、已知三角形ABC，先将∠A的度数增加一倍，∠B的度数增加两倍，刚好使∠C是直角，则∠A的度数可能是（）Ａ75度Ｂ60度Ｃ45度Ｄ30度３、一扇窗户打开后要用窗钩将其固定，这里所用的几何原理是（）Ａ三角形的稳定性Ｂ两点之间线段最短Ｃ两点确定一条直线Ｄ垂线段最短４、下列每组数分别表示三根小木棍的长度，将他们首尾相接后能摆成三角形的是（）Ａ１，２，３Ｂ5，7，12Ｃ6，6，13Ｄ6，8，10５、Ｉ为三角形ＡＢＣ的内心，∠ＢＩＣ＝130度，则∠ＢＡＣ的度数是（）Ａ65Ｂ75Ｃ80Ｄ100６、Ｈ是三角形ABC高的交点，∠BHC=110度，∠A的度数是（）A110B70C20D不能确定7、三角形的两边长为3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长为（）A11B13C11或13D11和138、一个三角形的两个内角分别是55度和65度，这个三角形的外角不可能是（）A115度B120度C125度D130度9、如图，AD是三角形ABC的中线，∠ADC=60度，BC=4，把三角形ADC沿直线AD折叠后，点C落在E处，则BE为（）A1B2C3D2DABCE（二）填空题81、三角形的两边长分别为６和８，则第三边上中线的范围是。2、三角形的三边长分别为a,a-1,a+1,a的取值范围是3、如图，∠1+∠2+∠3+∠4=13244、如图在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的有9个，……则在第n个图形中，互不重叠的共有个。5、如图，将一副直角三角形板重叠在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOB+∠DOC=DOBCA6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是ABCFED7、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，AD与BE相交与F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是ABCDE8、已知等边△ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P，如图，则∠APE的度数是PABCED（三）解答题6-81、将一张矩形纸片沿EF对折，若∠EFG=50度，求∠1、∠2的度数。12ABDCEFG2、一个三角形的两边分别为13cm和19cm，求其最短边的范围。3、已知在三角形ABC中，AB=AC，AB的中垂线与直线AC相交所成的角为50度，求底角∠B的度数。4、等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD把三角形的周长分为12cm,15cm两部分，求此三角形各边的长。5、求证：三角形一边的两个端点到这边的中线所在的直线的距离相等。6、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,O为BC的中点。CABONM﹙1﹚写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的关系；﹙不要求证明﹚﹙2﹚如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动一保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。7、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2,若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。bcabaccbaACBACBACB8、AD是三角形ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于F且AE=EF，求证：BF=ACFABCDE三角形（二）一、教学目标1、掌握等腰三角形的有关概念2、等腰三角形的性质和识别。3、掌握直角三角形的性质和判定方法。4、能综合运用三角形的知识解决问题。二、知识点回顾等腰三角形的三线合一定理，等角对等边，等边对等角，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半。三、例题选讲例1、△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN，AB=10，AC=16，求NM的长。NABCM分析：延长BN交AC于H则可构造等腰三角形的三线合一。解：延长BN交AC于H，因为∠BNA=∠ANH，∠BAN=∠NAH，所以∠ABN=∠AHN，所以AB=AH，N是BH的中点，因为M是BC的中点，所以NN=（16-10）/2=3例2、∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于P，Q求证﹕BP2=AP2+BC2BCAMP分析：从结论看，应该寻找直角三角形运用勾股定理。证明：连接BM，得直角三角形BMP、BCM、AMP，所以BP2=BM2-MP2=BC2+CM2-MP2=BC2+AM2-MP2=AP2+BC2例3、ABCD为正方形，E为AB中点，F为AD上一点，AF=1∕4AD求证﹕EF⊥CEABCDEF分析：方法一要证∠FEC为直角，可证∠FEA+∠CEB=90，即通过AE：BC=AF：BE=1/2且∠A=∠B证三角形AFE与三角形BEC相似。方法二：可连接FC设正方形的边长为2，用勾股定理表示出EF、EC、FC，再应用勾股定理的逆定理得出∠FEC=90。请你选择一种方法加以证明。四、课外练习（一）选择题1、已知等腰三角形两边长分别是2和5，则它的周长为（）A12或9B12C9D72、有5个三角形分别满足下列条件之一﹕①边长为5，12，13；②三边长为m2-n2,2mn,m2+n2﹙m＞n＞0﹚;③三边之比为3﹕4﹕5；④三内角之比为1﹕2﹕3;⑤三边之比为1﹕2﹕其一直角三角形有﹙﹚﹙A﹚2个﹙B﹚3个﹙C﹚4个﹙D﹚5个3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底部A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′至，那么BB′﹙﹚A等于1米B大于1米C小于1米D不能确定BAB'A'4、三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为﹙﹚A6B4.5C2.4D85、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°。直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S④EF=AP当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时﹙点E不于A，B重合﹚，上述结论一始终成立的有﹙﹚A1个B2个C3个D4个ABCEFCABDEABCD6、如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C、DAB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C、E在AD的异侧。若AE=1，则CD的长为﹙﹚A22B226C3D327、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有﹙﹚A4个B5个C7个D8个8、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是﹙﹚A⑴⑵⑶B⑴⑵⑷C⑵⑶⑷D⑴⑶⑷AABCABCABCBC图1图2图3图49、△ABC是直径为10㎝的圆内接等腰三角形，如果此等腰三角形的底边BC=8㎝，则该△ABC的面积为﹙﹚A8㎝2B12㎝2C12㎝2或32㎝2D8㎝2或32㎝2（二）填空题1、等腰三角形一底角为30°，底边上的高为3㎝，则这个等腰三角形的周长是㎝2、如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞了米ABCDE3、已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ABC的周长等于4、在△ABC中，AB=AC，且BC=8㎝，BD是腰AC的中线，分△ABC的周长为两部分，已知它们的差为2㎝，则等腰三角形的腰长为5、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a3+b3=6、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为6、如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD+CE=9，则线段DE的长为8、已知a、b、c是△ABC的三边长，那么方程cx2+（a+b）x+0.25c=0的根的情况为（三）解答题1、已知如图三角形ABC，AB=AC，AD=AE，∠BAD=n度，求证：∠EDC=21n度ABCFDEABCDE2、已知等腰三角形ABC的周长为50㎝，AD是地边上的高，△ABD的周长为40㎝，求AD的长。3、如图，设在一个宽度AB=a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于平整一堵墙上Q时，Q离地面的高度为c，梯子与地面的角是45°，将梯子的顶端放于另一堵墙上R时，离开地面的高度为d，且此时梯子与地面成75°，则d=a，为什么？ABRPQ4、已知，△ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DG=GEGABCED5、如图，已知：等腰三角形ABC的底边长8㎝，腰长5㎝，一动点P在底边上从B向C以0.25㎝/s的速度运动，当P运动到PA与腰垂直的位置时，求P运动的时间。ABCP6、已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+AE2=DE2ACBED7、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=0.5AB，点E、F分别为BC、AC的中点，（1）求证：DF=BE；（2）过A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DGFEDBCA四边形（二）一、教学目标：1、掌握特殊的平行四边形---矩形、菱形、正方形的概念。2、掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和识别方法。3、掌握矩形、菱形、正方形的中心对称性和轴对称性，并能利用这些性质解决问题。二、知识点回顾有一个角为直角的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直