三角形全等辅助线的做法

八年级数学（上）专题复习一——全等三角形常见辅助线作法在初中数学学习中，如何添加辅助线是同学们经常感到头疼的问题，许多同学常常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难，考试时也常因辅助线的添法不当而导致既得不到本题的分数，又白白浪费了考试时间。为了解决这个问题我根据多年初中几何教学经验，把全等三角形的几种常见辅助线作法编成一个“顺口溜”，现将该“顺口溜”写出来供同学们参考，但愿能给同学们的学习、复习带来一些帮助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？构造全等很关键。图中有角平分线，可向两边作垂线。三角形中有中线，延长中线造全等。角平分线加平行，构造等腰三角形。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。下面举出一些具体的例子说明如下：例1.已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。在△BED与△NED中∠1=∠2,DN=DB，ED=ED∴△BED≌△NED∴BE=EN同理可得FC=FN在△NEF中，EN+FNEF∴BE+CFEF注意：当证明题中有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到相等元素。例2.已知：如图2所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CFEF。证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△EBD与△MCD中DM=DE,∠1=∠CDM,BD=DC∴△EBD≌△MCD∴BE=CMABCDEFN1图12342图ABCDEFM1234在△EDF与△MDF中∠EDF=∠2+∠3，∠MDF=∠4+∠CDM又∵∠1=∠CDM=∠2，∠3=∠4∴∠EDF=∠MDF又∵DM=DE，DF=DF∴△EDF≌△MDF,∴EF=FM∵FC+CMFM∴BE+CFEF注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例3.已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。∵∠ADB=∠BDC,BD=DC,AD=DE∴△ADE≌△BDC∴AB=CE在△AEC中，AC+CEAE∴AB+AC2AD注意：在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例4.已知：如图5所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD=2CE分析：要证BD=2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于F。∵BE⊥CF,∠1=∠2,BE=BE∴△FBE≌CBE∴FE=CE,即CF=2CE又∵∠1+∠2+∠ACB=90°,∠2+∠ACB+∠FCA=90°∴∠1=∠FCAABCDE3图5图DCBAEF12在△ABD与△FCA中∠1=∠FCA，AB=AC,∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△FCA∴BD=CF即BD=2CE注意：有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例5.已知：如图6所示，AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：∠A=∠D。分析：要证∠A=∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB=DC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A=∠D证明：连接BC∵AB=DC，AC=BD,BC=CB∴△ABC≌△DCB∴∠A=∠D注意：连接已知点，构造全等三角形。例6.已知：如图7所示，AB=DC，∠A=∠D。求证：∠ABC=∠DCB。分析：由AB=DC，∠A=∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN=CN，∠ABN=∠DCN。下面只需证∠NBC=∠NCB，问题得证。证明：取AD中点N，连接NB，NC。∵AN=DN,∠A=∠D,AB=DC,∴△ABN≌△DCN∴BN=CN,∠ABN=∠DCN∴∠NBC=NCB∴∠ABN+∠NBC=∠DCN+NCB∴∠ABC=∠DCB注意：取线段中点构造全等三角形。总结：在利用三角形全等证明线段及角的关系时，如直接证不出来，可以通过做辅助线的方法来构成三角形，使结论中出现的线段或角在一个或几个三角形中，再运用三角形的边角关系来证明，做这种题的关键是辅助线的做法，辅助线做准确了题目也就可以迎刃而解了。DCBA6图O7图DCBAN