三角形的内角和定理的证明(第一课时)

三角形的内角和定理的证明（第一课时）海南第二中学周春媛课题三角形的内角和定理的证明项目内容理论依据或意图教材分析教材的地位及作用本节课是北师大版实验教科书八年级下册第六章第五节的内容。是在学习了平角、探索两条直线平行的条件及三角形内角和定理的基础上，进一步探索三角形内角和定理的证明。为今后学习多边形内角和、外角和，圆等知识打下了良好的基础。具有承上启下的作用。且三角形内角和定理在日常生活中,如:机械制造、工程设计、国防等领域具有广泛应用。《初中数学课程标准》教学目标一、知识目标：1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。2、对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。3、通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。二、能力目标：1、培养学生动手操作、探索、观察、分析、归纳获得数学结论的能力。2、培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力。三、情感目标：培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值。《初中数学课程标准》要求教师培养学生积极主动、乐于探索、勤于动手、分析和解决问题的能力。因此，依教材地位和作用及学生的具体情况，确定了教学目标。教学重点和难点教学重点：三角形内角和定理的证明及其简单的应用。教学难点：在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线。由于初二学生受年龄特点的限制，思维往往依赖直观具体的图形。另外对于几何证明，还比较生疏，同时又需要添加辅助线，这是学生第一次接触添加辅助线的方法证明问题。也因为这些知识是本章的基础知识、掌握得如何直接将影响本章乃至初中几何的学习。教学过程以境激情问题1：前面的课程学习了三角形三条边的关系，那么三角形的三个内角又存在怎样的关系呢？（三角形的内角和等于1800）问题2：我们知道三角形三个内角的和等于1800。你还记得这个结论的探索过程吗?(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法以达到同样的效果?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流。问题1通过复习旧知识、激发学生的求知欲；问题2让学生通过小组讨论：有什么办法得到这个结论。学生会提出度量、或拼图的方法，引导学生做小学做过的剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼图结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角，总结出拼图方法，为下一环节说理证明作好准备，通过学生动手操作，把抽象知识形象化、具体化，把学生直接带入新课的学习，并让学生知道数学知识来源于实践，让他们感受到学习的乐趣，增加他们学习数学的信心。定理证明研讨论证分析命题：证明三角形的内角和等于180°。已知：△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°分析：延长BC到D过点C作射线CE//BA，这样就当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置。证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//BA，则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠1+∠2+∠ACB=180°（1平角=180°），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换），[议一议]在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?首先引导学生怎样用符号来表示三角形的三个内角和等于180°；再与学生一起用拼图结果，∠A与∠1之间的数量关系是相等，位置关系是内错角，根据内错角相等，两直线平行，启发学生添加辅助线，作BC的延长线CD，过点C作BA的平行线，鼓励学生独立思考，寻求证明方法。ADC1231B2ABCPQ231教学过程研讨论证证明:过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?各小组展示探究结果，归纳出以下几种证法：方法1、过A点，作DE∥BC，方法2、过B点，作DE∥AC方法3、延长BC作∠ACE=∠A方法4、在BC边上取任一点D，作DE∥AB、DF∥AC添加辅助线有那哪些思路呢？启发学生归纳如下：添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角在议一议的基础上引导学生探索新的证法并归纳；再启发学生思考：添加辅助线有哪些思路呢？并归纳。通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中，渗透初中阶段一个重要数学思想----转化思想，为学好初中数学打下基础。BACACEBAABCDFEABCE图1图2AFBCDENBCTSPQRMA图4ABCSPRQMN教学过程学以致用[随堂练习]1、直角三角形的两个锐角之和是多少度？正三角的一个内角是多少度？请证明你的结论。图一图二答案：90°60°如图一，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.如图二，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°2、已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D和E分别在AB和AC上，且DE∥AB。求证：∠ADE=50°。证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）通过练习，在应用中加深对三角形内角和的理解，提高解决问题的能力，并对新知识的巩固。总结评价[课堂小结]这节课我们学习了三角形内角和定理的证明，其关键是正确引辅助线。[判断评估]1、三角形的内角有怎样的关系？直角三角形呢？2、三角形内角和定理的证明，如何添加辅助线是关键。辅助线是怎样添加的？为什么这样添加？学会运用定理解决实际问题。[布置作业]P241、习题6．61,2根据教学过程反馈信息由学生回顾所学内容。让学生学会自我检查、评价。使老师及时掌握学生的学习情况，供教师的今后教学参考。巩固知识并及时反馈教学信息.EABCD板书设计6.5三角形内角和定理的证明一、提出问题：猜想出三角形的三个内角和等于180°。二、分析命题：证明三角内角和定理，关键是添加辅助线：1、构造平角2、构造同旁内角。三、练习：随堂练习。有利学生对本节课的知识有个系统地认识。教法分析根据课程的特点，本节课以创设问题情境引导学生探索、运用为主线来展开。采用了多媒体演示的教学手段，使图形直观、形象，便于学生理解。以学生发展为本的原则，我运用启发式教学方法，引导学生动手操作、探索、讨论的引导启发式教学方法。在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的数学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师的引导和学生的学习主体的课堂教学理念。教学有法，教无定法。启发式教学是课堂教学的重要手段，是体现课改理念的一种主要方式。根据教学内容和学生情况，故采用上述教法。学法分析根据本节课内容特点和学生的实际，八年级学生基本上具备数学的动手操作、探索、猜想、说理的能力，在多媒体辅助教学的上，主要采用“操作—观察—讨论—证明—应用”的探究式的学习方式，教会学生“动手做，动脑想，大胆猜、会说理，学致用”的学习方法。增加学生参与的机会，使学生在掌握知识、形成技能的同时，培养其科学的学习方法和自信心。依本节内容特点，结合学生实际情况，采用探究式学习方式。探究式学习方式是现代课堂教学重要模式，学生在教师引导启发下，通过师生共同探究活动，使学生感受知识的形成过程，从而实现教学目标。评价分析本节课在教学设计上，依教材、《课标》及学生的实际情况，力求调动一切极积因素，激发学生的学习兴趣，在教师引导启发下，使学生的思维围绕探索步步深入，最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性。因此本人认为本节课达到如下的教学效果：1、“提出问题”激发学生思考，培养学生的思维和自信心。2、通过动手操作、合作交流，使学生发现并掌握三角形内角和定理的证明。3、“分析命题”培养学生分析问题，解决问题的能力。4、“练习”巩固知识并能简单应用。整个课堂设计关注学生个体差异，使不同个体获得相同的学习效果。评价分析是教学过程的反馈，检验教学是否达到预期目的、教学目标是否实现、教学方法与手段运用是否恰当的一个重要环节。一方面，可以了解学生对知识的掌握、能力的培养的程度，另一方面，又为以后的教学构想调整与教学措施的制订提供依据。