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错例分析例1：画出三角形ABC的高。A解析：学生在作图时往往会因为怕麻烦而不使用作图工具，不采用标准的作图方法，相信自己的眼睛大致的做出一条垂直线段，就容易出现不经过顶点，不与底边垂直的情况。画三角形的高通常用三角尺做工具来画：把三角尺的一条边与指定的底边重合，沿底边平移三角尺，直到另一条边通过与该底边相对的顶点，再从顶点起沿直角边向底边画线段，此线段便是三角形的高，最后标上直角符号。答案如图所示：例2：下图中，∠2=50o，∠4=110o，求∠1的度数。ABCDBCD4231∠1=180o—∠2—∠4=180o—50o—110o=20o错因分析：没有看懂题目中每个角的关系，没有理解三角形内角和等于180度这句话的含义，只是盲目的运用所学的知识进行解题。答案：方法1此题可应用三角形内角和知识进行解答。已知∠2=50o，∠3的度数没有直接给出，但是∠4和∠3合起来正好是一个平角，等于180o，与这个三角形的内角和相等，即∠3+∠4=∠1+∠2+∠3，所以∠4=∠1+∠2，由此可知∠1的度数。因为∠4=∠1+∠2，故∠1=∠4—∠2=110o—50o=60o方法2∠3和∠4组成了一个平角，已知∠4=110o，所以∠3通过180o—∠4可求出，再利用三角形内角和180o减去∠2和∠3，就可求出∠1的度数。∠3=180o—∠4=180o—110o=70o∠1=180o—∠2—∠3=180o—50o—70o=60o归纳总结三角形的内角和是180o，三角形三个角中已知两个角的度数，求第三个角的度数，用内角和（180o）连续减去已知的两个角的度数或减去这两个角的度数之和即可。思路拓展1、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。2、三角形内角和的应用：利用三角形内角和可求出任意一个多边形的内角和。可将多边形分成几个三角形。例如四边形可以分成两个三角形，内角和为180o×2=360o，五边形可以分成3个三角形，内角和为180o×3=540o。多边形边的条数比它可分成的三角形的个数多2，那么n边形的内角和则为180o×（n－2）。典例分析例1：画出下面三角形每边上的高。解析：我们发现图1的三角形中有一个角是直角，所以其中两条高是两条直角边，第三条高将由两条直角边相交的顶点向对边所引的垂线构成。图2的三角形的三条高都在三角形的内部，分别由三角形的顶点向对边引垂线。图3的三角形中，三条高中有两条高在三角形的外部，分别是构成钝角的两条边和最长的边相交的两个顶点向对边所引的垂线。当对边的线段不够长时，需要作延长线。而第三个点即钝角的顶点，可直接向对边画垂线。答案123例2：从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米这5根木棒中选择三根围成三角形，你能想出几种不同的三角形？解析：此题应按照一定的顺序来思考，以免遗漏某种方法。由于围成三角形需要三根木棒，题中共有五根，不能用排除其中一根的方法。可先确定其中一条边不变，第二条边也确定一根木棒后，将剩余木棒以此作为第三边，然后将第二条边确定为另一根木棒，再继续排列第三边。当第二边没有可选的时候，再确定另一根木棒为第一边，继续确定另两条边，整个过程可按从大到小的顺序选择木棒长度。答案：当第一条边为7厘米时，所有的组合情况为：（7、6、5）（7、6、4）（7、6、3）（7、5、4）（7、5、3）（7、4、3）6种；当第一条边为6厘米时，所有的组合情况为：（6、5、4）（6、5、3）（6、4、3）3种；当第一条边为5厘米时，所有组合情况为：（5、4、3）1种；去掉其中不能围成三角形的组合（7、4、3）。一共有5+3+1=9（种）。技巧与方法：三角形任意两边长度的和大于第三边。如果要判断给定的三条线段是否能围成三角形，只要计算出其中两条比较短的线段的长度和，123若大于第三条线段，就一定能围成一个三角形。例3：下图中有两条路连接A和B，从A到B哪一条路最近？比另一条近多少米？解析：因为两点之间直线最短，所以从A到B最近的路是选择下面沿直线方向的路。另外一条路的路线实际上就是每个等边三角形的两条边。每条边长度分别和下面一条路的长度相等，这两条路的路程是2倍关系。答案：第一条路：50+40+30=120（米）第二条路：50×2+40×2+30×2=240（米）答：下面一条路最近，比另外一条路近120米。数学故事勾股定理勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在国外称为“毕达哥拉斯定理”。在《周髀算经》中提到“购三股四弦五”的话。实际上，它是我国古代劳动人民通过长期测量发现的。他们发现：当直角三角形的短的直角边（勾）是3，长的直角边（股）是4的时候，直角所对边（弦）正好是5。这是勾股定理的一个特例。以后又经过长期的测量实践，发现只要是直角三角形，它的三边都有这样的关系，即与它们相当的正整数有许多组，《周髀算经》上还说，夏禹在实际测量中已经初步运用这个定理。这本书上还记载，有个叫陈子的数学家，应用这个定理来测量太阳的高度、太阳的直径和天地的长阔等。5000年前的埃及人，也知道这一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它来测定直角。以后才渐渐推广到普遍的情况。到了公元540年，希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、4、5，或者是5、12、13的时候，有这样的关系。他想：是不是所有的直角三角形的三边都符合这个规律？反过来，三边符合这个规律的，是不是直角三角形？他搜集了许多的例子，结果都对这两个问题作了肯定的回答。从此，西方人就将这个定理称为毕达哥拉斯定理。同步测试一、小小知识窗，看谁本领强！1、由（）围成的图形，叫做三角形；任何一个三角形都有３条（），３个（）和（）个顶点。2、三角形具有（）的特性，这一特性在生活中有着广泛的应用。3、从三角形的一个顶点到它的（）作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的（）。4、在一个三角形中，最少有（）个锐角，最多可以有（）个锐角，最多可以有（）个直角，最多可以有（）个钝角。5、三角形按边可以分为（）三角形、（）三角形。等边三角形又叫（）三角形。6、有一个角是６０度的等腰三角形，一定是（）三角形。7、如果一个三角形有两个内角之和等于90度，那么这个三角形一定是（）三角形。8、等腰三角形的两边长是５厘米和８厘米，则三角形的周长是（）厘米。9、一个等腰三角形的顶角是50o，它的底角应为（）。10、下图中有（）个直角三角形，（）个锐角三角形，（）个钝角三角形。二、对号入座(将正确答案的序号填在括号里）1、一个三角形有（）条高。A、1B、2C、3D、无数条2、用放大5倍的放大镜看一个20o的角，这个角是（）。A、20oB、100oC、120o3、下列三角形中属于锐角三角形的是（）。A、等腰三角形B、等边三角形C、有两个角是锐角的三角形4、如果三角形的两条边都是6厘米，那么第三边一定（）。A、大于12厘米B、小于12厘米C、不能确定5、一个三角形中最大的角是锐角，那么这个三角形一定是（）三角形。A、锐角B、直角C、钝角6、三角形ABC中，∠A—∠C=∠B，那么这个三角形一定是（）。A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形7、∠1和∠2分别是直角三角形的两个锐角，已知∠1=51o，∠2=（）。A、39oB、29oC、不能求出8、三角形的两条边分别是3厘米、9厘米，第三边可能是（）厘米。A、5B、6C、79、梯形的内角和是（）度。A、90B、180C、360D、54010、自行车的支架是运用了三角形的（）的特性。A、稳定性B、有三条边的特征C、易变形三、判断（对的打“√”，错的打“×”）1、由三条线段组成的图形叫作三角形。（）2、一个三角形里如果有两个锐角，必定是一个锐角三角形。（）3、直角三角形只有一条高。（）4、一个大三角形和一个小三角形的三个内角的和是不相等的。（）5、所有的等腰三角形都是等边三角形。（）6、用长8厘米、9厘米、17厘米的三根小棒可以拼成三角形。（）7、在一个三角形中，一个内角为70度，一个内角为50度，则另一个内角为60度。（）8、两个三角形的内角和相加等于长方形的内角和。（）9、钝角三角形中两个锐角的和一定小于90度。（）10、由两个三角形拼成的一个的大的三角形的内角和是360度。（）四、你来给它们归归类吧！12341、直角三角形：2、锐角三角形：3、钝角三角形：4、等腰三角形：5、等边三角形：五、在能组成三角形的三条线段后面画“√”。（1）3厘米4厘米4厘米（）（2）3厘米4厘米5厘米（）（3）10厘米22厘米18厘米（）（4）9分米22分米13分米（）（5）20分米60分米90分米（）（6）6米7米12米（）六、求出下面各角的度数。1、已知等腰三角形的一个底角是40o，它的顶角是多少度？56782、已知一个三角形的三条边相等，求它三个角的度数。3、一个直角三角形，其中一个角是38o，另一个角是多少度？4、一个三角形，既是等腰三角形，又是直角三角形，求它三个角的度数。七、我是小小设计师1、按要求画出下列图形，并标出各部分的名称。（1）画一个底角是50°的等腰三角形。（2）画一个两直角边分别为3厘米、4厘米的直角三角形。2、画出下面三角形指定底边上的高。底底底3、设计篱笆。王雷要为爷爷的菜地设计篱笆，他想到了几种方案（如下图）。你建议他使用哪种方案？说明你的理由。（1）（2）（3）八、解决问题1、从学校到少年宫有几条线路？分别是什么？其中最近的线路是哪一条？为什么？电影院学校邮局少年宫2、一块等腰三角形广告牌，它的一个底角是55度，它的顶角是多少度？3、张爷爷家有一个直角三角形花坛，在这个直角三角形花坛中，较大的锐角的度数是较小锐角度数的2倍，你能算出这个花坛每个角的度数吗？4、一块等腰三角形的绿地，它的周长是146米，腰长是44米，底边长是多少米？5、明明做了一个等边三角形的风筝，它的边长是60厘米，那么，这个风筝的周长是多少？6、下图中有两条路连接点A和B，从A到B往返一次，怎么走最远？比最近的路远多少米?A900米700米B60o60o60o60o第11期答案：一、4、23118、18或219、65°10、422二、CABBACACCA三、××××××√√√×四、略五、（1）√（2）√（3）√（6）√六、（1）100°（2）60°（3）52°（4）90°，45°，45°七、略八、2、70°3、90°，30°，60°4、58米5、180厘米6、1600米