三轮复习专题10圆锥曲线及其应用

数学专题十圆锥曲线及其应用【考点精要】考点一.椭圆、双曲线、抛物线的离心率。如：设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.5D.6考点二.圆锥曲线的第一或第二定义。如：已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=()A.2B.2C.3D.3考点三.圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为()A.xy2B.xy2C.xy22D.xy21考点四.圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与向量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。考点五.圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借助点与线的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如：设抛物线2y=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=()A.45B.23C.47D.12考点六.圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决问题以及数形结合的能力。如：已知直线1:4360lxy和2:1lx，抛物线24yx上一动点P到1l和2l的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716考点七.待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线与圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。此类问题多属于中档或高档题。如：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.考点八.求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性。巧点妙拨1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.3.求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。【典题对应】例1.(2009·山东)设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amxy,向量(,1)bxy,ab,动点(,)Mxy的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知41m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知41m,设直线l与圆C:222xyR(1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.命题意图：本题主要考查直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题。解析：（1）因为ab,(,1)amxy,(,1)bxy,所以2210abmxy,即221mxy.当m=0时,方程表示两直线,方程为1y;当1m时,方程表示的是圆;当0m且1m时,方程表示的是椭圆；当0m时,方程表示的是双曲线.(2)当41m时,轨迹E的方程为2214xy,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方程组2214ykxtxy得224()4xkxt,即222(14)8440kxktxt,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=2222226416(14)(1)16(41)0ktktkt,即22410kt,即2241tk,且12221228144414ktxxktxxk22222222212121212222(44)84()()()141414ktkttkyykxtkxtkxxktxxttkkk,要使OAOB,需使12120xxyy,即222222224445440141414ttktkkkk,所以225440tk,即22544tk且2241tk,即2244205kk恒成立.所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21trk,222224(1)45115ktrkk,所求的圆为2245xy.当切线的斜率不存在时,切线为552x,与2214xy交于点)552,552(或)552,552(也满足OAOB.综上,存在圆心在原点的圆2245xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.(3)当41m时,轨迹E的方程为2214xy,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆C:222xyR(1R2)相切于A1,由（2）知21tRk,即222(1)tRk①,因为l与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知2214ykxtxy得224()4xkxt,即222(14)8440kxktxt有唯一解.则△=2222226416(14)(1)16(41)0ktktkt,即22410kt,②由①②得2222223414RtRRkR,此时A,B重合为B1(x1,y1)点，由12221228144414ktxxktxxk中21xx,所以,222122441616143tRxkR,B1(x1,y1)点在椭圆上,所以22211214143RyxR,所以22211124||5OBxyR,在直角三角形OA1B1中,2222211112244||||||55()ABOBOARRRR因为2244RR当且仅当2(1,2)R时取等号,所以211||541AB,即当2(1,2)R时|A1B1|取得最大值,最大值为1.名师坐堂：对于两个向量垂直，0,),,(),,(ynxmbanmbyxa则有若。求圆锥曲线的轨迹方程时一定要注意检验，所求方程中含有参数是要注意讨论。研究直线时应注意斜率不存在的情况。例2.（2011·山东22)已知动直线l与椭圆C：22132xy交于1122,,,PxyQxy两不同点，且OPQ的面积62OPQS，其中O为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212xx和2212yy均为定值；（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点,,DEG，使得62ODEODGOEGSSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由．命题意图：本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、面积公式、一元二次方程的根与系数的关系、求最值的方法以及分类讨论的思想，考查学生解析几何的基本思想方法，考查逻辑推理、运算能力．解析：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，,PQ两点关于x轴对称，则1212,xxyy，由11,Pxy在椭圆上，则2211132xy，而1162OPQSxy，则116,12xy于是22123xx，22122yy.当直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，代入22132xy可得2223()6xkxm，即222(23)6360kxkmm，0，即2232km2121222636,2323kmmxxxxkk22212121211()4PQkxxkxxxx22222632123kmkk21mdk，222112632622232POQkmSdPQmk则22322km，满足0222221212122263(2)()2()232323kmmxxxxxxkk，222222121212222(3)(3)4()2333yyxxxx，综上可知22123xx，22122yy.（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知1626;2OMxPQ当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知12322xxkm，2121231()222yyxxkkmmmm，222212122229111()()(3)2242xxyykommmm22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)kmmPQkkmm22221125(3)(2)4OMPQmm≤，当且仅当221132mm，即2m时等号成立，综上可知OMPQ的最大值为52。（Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,DEG，使得62ODEODGOEGSSS，由（Ⅰ）知2222223,3,3DEEGGDxxxxxx，2222222,2,2DEEGGDyyyyyy.解得22232DEGxxx,2221DEGyyy，因此,,DEGxxx只能从62中选取，,,DEGyyy只能从1中选取，因此,,DEG只能从6(,1)2中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与62ODEODGOEGSSS相矛盾，故椭圆上不存在三点,,DEG，使得62ODEODGOEGSSS。名师坐堂：求解定值问题可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值，再推广到一般结论。在求解圆锥曲线的最值问题时，可考虑用重要不等式、二次函数、三角函数以及函数的单调性。【授之以渔】方法点拨：求圆锥曲线中的最值问题应注意以下几点：（1）圆锥曲线本身存在最值问题，如①椭圆上两点最大距离为a2（长轴长）；②双曲线上两点间最小距离为a2（实轴长）；③椭圆上的焦半径的取值范围为[],caca，ca与ca分别表示椭圆焦点到椭圆上的最短与最长距离；④抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近。（2）圆锥曲线上的点到定点的距离最值，常与两点间的距离公式转化为区间上的二次函数最值解决，有时也用圆锥曲线中的参数方程，化为三角函数的最值问题。（3）圆锥曲线上的点到定直线的距离最值，常转化为平行切线法。（4）点在圆锥曲线上，求相关式子的取值范围，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数化为函数进行处理。（5）由直线和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某一个参数满足的范围，解决方法长把所求参数作为函数，另一个变元作为自变量求解。【直击高考】1.已知双曲线1412222222byxyx的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=()A.3B.5C.3D.22.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=03.中心在原点