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第二节随机抽样【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)简单随机抽样:①定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中_________________n个个体作为样本(n≤N),且每次抽取时各个个体被抽到的___________,就称这样的抽样方法为简单随机抽样.②常用方法:_______和_________.逐个不放回地抽取机会都相等抽签法随机数法(2)系统抽样:系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照_________抽样抽取第一个样本,然后按___________(称为抽样距)抽取其他样本,这种抽样方法有时也叫_________或_________.(3)分层抽样:将总体按其_________分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例_____抽取一定的样本,这种抽样方法叫作分层抽样,有时也称为_________.简单随机分组的间隔等距抽样机械抽样属性特征随机类型抽样2.必备结论教材提炼记一记(1)不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是_____的.(2)系统抽样是等距抽样,入样个体的编号相差的整数倍.(3)分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.相同Nn3.必用技法核心总结看一看(1)数学思想:方程思想.(2)记忆口诀:抽样方法有三类,适用类型先确定.抽签方法最实用,公平简单易操作,编码可以任意编,号签统一搅均匀.随机数法也方便,计算器或计算机,编制数表皆相宜,只要规则事先定.若是总体数量少,两种方法皆可用.若是总体数量大,抽样方法是系统.先将总体来编号,等距分组不能忘,要是分组有多余,简单抽样来帮忙.要是差异太明显,分层抽样不能忘.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)抽签法中,先抽的人抽中的可能性大.()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()(3)若为了适合分段或分层而剔除几个个体后再抽样,则对剔除的个体来说是不公平的.()(4)分层抽样中每个个体被抽中的可能性与其所在的层有关.()【解析】(1)错误.抽样必须公平,每种抽样方法中每个个体入样的可能性都是相同的,故(1)错.(2)正确,符合系统抽样的特点.(3)错误,剔除和入样对每个个体都是等可能的,故每个个体被剔除的几率都相等.(4)错误,分层抽样中每个个体入样的可能性都等于抽样比,与所在层无关.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×2.教材改编链接教材练一练(1)(必修3P12例3改编)某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.分层抽样法D.系统抽样法【解析】选C.根据题意有,由分层抽样的定义可知,该题所用的抽样方法是分层抽样法.2520500400(2)(必修3P13例4改编)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1～160编号,按编号顺序平均分成20组(1～8号,9～16号,…,153～160号),若第16组抽出的号码为123,则第2组中应抽出个体的号码是.【解析】由题意可知,系统抽样的组数为20,间隔为8,设第1组抽出的号码为x,则由系统抽样的法则可知,第n组抽出个体的号码应该为x+(n-1)×8,所以第16组应抽出的号码为x+(16-1)×8=123,解得x=3,所以第2组中应抽出个体的号码为3+(2-1)×8=11.答案:113.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是()A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本【解析】选A.从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间,样本容量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本,每名居民的阅读时间就是一个个体,5000名居民的阅读时间的全体是总体.所以选A.(2)(2015·临川模拟)某商场举办新年购物抽奖活动,先将160名顾客随机编号为001,002,003,…,160,采用系统抽样的方法抽取幸运顾客,已知抽取的幸运顾客中最小的两个编号为007,023,那么抽取的幸运顾客中最大的编号应该是()A.151B.150C.143D.142【解析】选A.由两个最小编号知间隔为16,共分成了10组,故最大编号为7+9×16=151.(3)(2014·上海高考)某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康情况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为.【解析】三个年级的学生数之比为4∶3∶2,高三抽取了20人,则高一、高二应分别抽取40,30人,故高一、高二共抽取70人.答案:70考点1抽样方法及简单随机抽样【典例1】(1)(2014·湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2p3B.p2=p3p1C.p1=p3p2D.p1=p2=p3(2)(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法(3)(2013·江西高考)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()A.08B.07C.02D.017816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481【解题提示】(1)根据抽样的基本要求解答.(2)根据三种抽样方法之间的区别和联系解答.(3)根据随机数表法选取编号.【规范解答】(1)选D.因为随机抽样时,不论三种抽样方法的哪一种都要保证总体中每个个体被抽到的概率相等,所以三个概率值相等.(2)选D.简单随机抽样适用于样本较小的抽样,选项A,B不适合,系统抽样适用于样本容量大且总体差异不明显,所以选项C不适合.本题样本男女差异明显,适合分层抽样.故选D.(3)选D.由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列),按由左到右选取两位数(大于20的跳过、重复的不选取),前5个个体编号为08,02,14,07,01.故选出来的第5个个体的编号为01.【规律方法】抽签法与随机数表法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.【变式训练】大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个.现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本,较为恰当的抽样方法为.【解析】因为三个盒子中装的是同一种产品,且按比例抽取每盒中抽取的不是整数,所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为适合.答案:简单随机抽样【加固训练】为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况,从中抽取100名运动员,就这个问题下列说法中正确的有.①2000名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的100名运动员是一个样本;④样本容量为100;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概率相等.【解析】研究对象是运动员的年龄,所以总体是2000个年龄数据,每个运动员的年龄是个体,100名运动员的年龄是样本,故①②③都错,④⑤⑥是正确的.答案:④⑤⑥考点2系统抽样【典例2】(1)(2014·广东高考)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为()A.50B.40C.25D.20(2)某单位有200名职工,现用系统抽样法,从中抽取40名职工作样本,将全体职工随机按1～200编号后,若第5组抽出的号码为22,则第9组抽出的号码应是.【解题提示】(1)分段的间隔等于样本空间总数除以抽取容量.(2)相邻两组抽出的个体号码相差一个分段间隔.【规范解答】(1)选C.分段的间隔为1000÷40=25.(2)分段间隔为200÷40=5,所以第9组抽出的号码应是22+(9-5)×5=42.答案:42【易错警示】解答题(2)有三点容易出错:(1)计算分段间隔错误或不会求分段间隔.(2)不理解系统抽样中入样个体编号间的关系.(3)第5组与第9组中入样个体相差的分段间隔数弄错.【互动探究】题(2)中第1组中抽出的个体号码为.【解析】第1组中抽出的个体号码为22-(5-1)×5=2.答案:2【规律方法】系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体.(2)各个个体被抽到的机会均等.(3)总体分组后,在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样.(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为k=.提醒:如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.Nn【变式训练】(2013·陕西高考)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为()A.11B.12C.13D.14【解析】选B.根据抽样方法的等概率性可知,每人入选的概率是由题设可知区间[481,720]的人数为240,所以编号落入区间[481,720]的人数为×240=12.42840，42840【加固训练】高三(3)班共有学生56人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本.已知3号、31号、45号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是()A.15B.16C.17D.18【解析】选C.分段间隔为56÷4=14,即四个座号相差14的整数倍,所以还有一个座号是第2个,为3+14=17.考点3分层抽样知·考情分层抽样是高考中考查抽样方法最多的一种,往往从两个方面考查:求某层中应抽个体的数量;求总体或样本的容量.主要以选择题或填空题的形式出现,有时也渗透在解答题中作为其中的一问.明·角度命题角度1:求总体或样本容量【典例3】(2014·重庆高考)某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为()A.100B.150C.200D.250【解题提示】直接根据分层抽样的定义列出关于n的等式求解即可.【规范解答】选A.由分层抽样的定义可知,解得n=100.703500n35001500命题角度2:求某层入样的个体数【典例4】(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取名学生.【解题提示】按比例在一年级本科生中抽取即可.【规范解答】根据题意知300×=60.故应取60人.答案:6044556悟·技法分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.通·一类1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生