【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练45直线与圆圆与圆的位置关系

-1-考点巩固训练45直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是()．A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝03．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于()．A．33B．23C．3D．14．设直线l经过点P(3,4)，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.若直线l与圆C交于两个不同的点，则直线l的斜率的取值范围为()．A．1918，＋∞B．1716，2720C．2120，＋∞D．2720，29175．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为()．A．2B．3C．2D．36．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为23时，a＝()．A．2B．2－2C．2－1D．2＋17．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2，则OM→·ON→(O为坐标原点)等于()．A．－7B．－14C．7D．14二、填空题8．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．9．(北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为__________．10．已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为__________．三、解答题11．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)，(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．12．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．-2-(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ→·MQ→的最小值．(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．-3-参考答案一、选择题1．A解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，可得|a|2＝1，即a＝±2．∴p⇒q而qp，∴p是q的充分而不必要条件．2．D解析：设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0．∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，∴|－4＋m|32＋42＝1．∴|m－4|＝5．∴m＝－1或m＝9．∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0．3．B解析：如图所示，设AB的中点为D，则OD⊥AB，垂足为D，连接OA．由点到直线的距离得|OD|＝|－5|32＋42＝1，∴|AD|2＝|OA|2－|OD|2＝4－1＝3，|AD|＝3，∴|AB|＝2|AD|＝23．4．C解析：由题意，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．又直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即|5－2k|k2＋1＜2，解得k＞2120．所以直线l的斜率的取值范围为2120，＋∞．5．C解析：设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则切线方程为x0x＋y0y＝1．分别令y＝0，x＝0，得A1x0，0，B0，1y0，∴|AB|＝1x02＋1y02＝1x0y0≥1x20＋y202＝2当且仅当x0＝y0时，等号成立．6．C解析：如图，由题意知圆心为(a，2)，到直线l的距离应等于1，-4-即|a－2＋3|2＝1，∴a＝－1±2．∵a＞0，∴a＝2－1．7．A解析：记OM→，ON→的夹角为2θ．依题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于|c|a2＋b2＝1，cosθ＝13，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×132－1＝－79，OM→·ON→＝3×3cos2θ＝－7．二、填空题8．x2＋y2＝2解析：圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2．∴圆的方程为x2＋y2＝2．9．22解析：由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝22＝2．设截得的弦长为l，则由l22＋(2)2＝22，得l＝22．10．302解析：BC中点坐标为D2，32，－12，所以|AD|＝（2－3）2＋32－12＋－12－22＝302．三、解答题11．解：(1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，解得a＝±3．当a＝3时，点M为(1，3)，kOM＝3，k切线＝－33，此时切线方程为y－3＝－33(x－1)，即x＋3y－4＝0．当a＝－3时，点M为(1，－3)，kOM＝－3，k切线＝33，-5-此时切线方程为y＋3＝33(x－1)，即x－3y－4＝0．所以所求的切线方程为x＋3y－4＝0，或x－3y－4＝0．(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d21＋d22＝|OM|2＝3．于是|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22．所以|AC|＋|BD|＝24－d21＋24－d22．则(|AC|＋|BD|)2＝4(4－d21＋4－d22＋24－d214－d22)＝4[5＋216－4（d21＋d22）＋d21d22]＝4(5＋24＋d21d22)．因为2d1d2≤d21＋d22＝3，所以d21d22≤94，当且仅当d1＝d2＝62时取等号．所以4＋d21d22≤52．所以(|AC|＋|BD|)2≤4×5＋2×52＝40．所以|AC|＋|BD|≤210，即|AC|＋|BD|的最大值为210．12．解：(1)设圆心C(a，b)，则a－22＋b－22＋2＝0，b＋2a＋2＝1，解得a＝0，b＝0.则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2．(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQ→·MQ→＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以PQ→·MQ→的最小值为－4．(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由y－1＝k(x－1)，x2＋y2＝2，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0．因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝k2－2k－11＋k2．同理，xB＝k2＋2k－11＋k2．则kAB＝yB－yAxB－xA＝－k（xB－1）－k（xA－1）xB－xA-6-＝2k－k（xB＋xA）xB－xA＝1＝kOP．所以，直线AB和OP一定平行．