【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第八章第七节双曲线

第七节双曲线1.双曲线的定义12MFMF＜2.双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程____________(a0，b0)__________(a0，b0)2222xy1ab2222yx1ab性质范围________________________对称性对称轴：_______对称中心：_____对称轴：_______对称中心：_____顶点顶点坐标：A1______,A2______顶点坐标：A1________,A2_______渐近线_________________离心率e=___,e∈________a,b,c的关系c2=______实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=___；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=___；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长.x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0，-a)(0，a)byxaayxbca(1,+∞)a2+b22a2b判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4),F2(0，-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(3)方程(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线方程(m0,n0,λ≠0)的渐近线方程是即()22xy1mn2222xymn2222xy0mn，xy0.mn(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于()(6)若双曲线(a0,b0)与(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).()2.2222xy1ab2222xy1ba2212111ee【解析】(1)错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(2)错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(3)错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0,n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.(4)正确.因为(a0,b0)的渐近线方程为即∴当λ0时，(m0,n0)的渐近线方程为同理当λ0时，仍成立，故结论正确.(5)正确.等轴双曲线:x2-y2=a2(a0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=±x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,2222xy1ab2222xy0ab，2222xy1mn22222222xyxyxy0.00.mnmnmn即，即c2ac2ae2.aa，byxa(6)正确.双曲线(a0,b0)的离心率同理答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√2222xy1ab221cabe,aa222abeb，222222221211ab()()1.eeabab1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，则点M的轨迹方程是()22222222xyxyA1B1x4169169xyxyC1D1x3916916【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且6|AB|=10，得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支.∴方程为(x≥3).22xy19162.若双曲线(a＞0,b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()(A)(B)5(C)(D)2【解析】选A.由已知得b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,∴离心率2222xy1abc5ae5.aac5a,523.已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_______.【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为：所以a2=3，又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为(舍).答案:22xy136，423423或4234.已知双曲线(a＞0,b＞0)的虚轴长为2，焦距为则双曲线的渐近线方程为________.【解析】依题意知：2b=2，所以因此，双曲线的渐近线方程为：答案:2222xy1ab23，2c23，b1c3a2，，，b2yxx.a22yx25.已知双曲线C:(a0,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为______.【解析】由已知∴c=2a.①又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1.②由①②得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴双曲线C的方程为答案:2222xy1abce2,a22yx1.322yx13考向1双曲线的定义【典例1】(1)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为_______.(2)已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.【思路点拨】(1)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF1|,|PF2|的方程，进而求解.(2)先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间关系，探究出动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.【规范解答】(1)不妨设|PF1||PF2|.由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1，由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2①由已知条件PF1⊥PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8②上述两式①②联立，解得|PF1|=+1,|PF2|=-1,故|PF1|+|PF2|=答案:c2，3323.23(2)由椭圆的定义知:|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为：22xy1y1.48【互动探究】本例题(1)中“PF1⊥PF2”改“∠F1PF2=60°”，结果如何？【解析】不妨设|PF1||PF2|，由双曲线方程x2-y2=1,知a=b=1,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4①又∠F1PF2=60°,由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=|F1F2|2=(2c)2=8②c2,②-①得|PF1||PF2|=4③③代入①得：|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2|=4+2×4=12.21212221212|PF||PF|(|PF||PF|)|PF||PF|2|PF||PF|122425.【拓展提升】1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧：经常结合||PF1|-|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系.2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量x(y)的范围.【变式备选】(2013·绵阳模拟)过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P，Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长为_________.【解析】因为x2-y2=8，所以由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=|QF2|-|QF1|=所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=即|PF2|+|QF2|-|PQ|=又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+因此,△PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+答案:14+2a42，42，42，82，82，82，82，82考向2双曲线的标准方程和几何性质【典例2】(1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()2222xy1ab22222222xyxyA1B1205520xyxyC1D180202080(2)(2012·浙江高考改编)如图，F1,F2分别是双曲线C：(a＞0,b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是________.2222xy1ab【思路点拨】(1)利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质，由焦距为10，求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b，从而由a2+b2=c2，求出a，b.(2)利用双曲线的几何性质，结合图形的特征，通过求PQ的中点，再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程，进而求解.【规范解答】(1)选A.∵的焦距为10，①又双曲线渐近线方程为且P(2,1)在渐近线上，由①②解得所以方程为2222xy1abbyxa，22c5ab2b1a2ba，即②a25b5，，22xy1.205(2)设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0);∵B(0,b),∴点F1，B所在直线为双曲线渐近线方程为由xy1,cbbyx,bacbcayx,Q(,)xyacaca1,cb由得，byx,acbcaP(,),xyacac1,cb得∴线段PQ的中点坐标为由a2+b2=c2得，线段PQ的中点坐标可化为直线F1B的斜率为∴线段PQ的垂直平分线为由|MF2|=|F1F2|得答案:222222acbc(,).caca222acc(,)bb，bk,c222ccacy(x),bbb2222222acacy0xc,M(c,0),bbacFM.b令，得2222222acac2c,3a2c,bca即236e,e.2262【拓展提升】1.利用待定系数法设双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为(mn＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB＜0)，这种形式在解题时更简便.(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值.22xy1mn(3)与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值.2222xy1ab2222xyab2.双曲线的几何性质的三大关注点(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点.(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线.(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的焦点三角形.3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置.(2)已知渐近线方程y=mx(m＞0)求离心率时，当焦点不确定时，因此离心率有两种可能.2be1()abammab或，【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.(1)求该双曲线的离心率.(2)若双曲线经过点求双曲线的方程.P(6,2)，【解析】(1)当焦点在x轴上时，所以解得当焦点在y轴上时，所以解得即双曲线的离心率为222b2ca4a3a9，即，213e9，13e3；222b3ca9a2a4