三角函数解题方法

OWN第1页2020-1-9略谈三角函数问题解题方法三角函数问题的题型主要有：三角函数式的化简、求值、证明，方法诸多，如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等，解题中心是“变角”、“变名”、“变式”，基本思路是从“角”“名”“形”入手，根据问题的目标，对其变换或通过对“角”“名”“形”的变换，确立变形目标，使问题向有利解决的方向转化。一、三角函数式的化简例1、化简22222sinsin2coscoscos2cos2分析本题中出现的角的形式多，故应先变角。解：原式=2222222sinsin2coscos(2cos1)(2cos1)=2222222sinsin2coscos2cos2cos1=222222sinsin2cos(1cos)2cos1=22222sin(sincos)2cos1=222sin2cos1=1.[点评]化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简。二、三角函数的求值。1、给角求值。利用和、差公式变形，使其出现特殊角，若非特殊角，则可能出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。例2、求22sin10cos703sin10cos70的值[分析]式中两个角存在关系701060可从“角度”入手。解：原式=22sin10cos(6010)3sin10(6010)cos=221313sin10(cos10sin10)3sin10(cos10sin10)2222=22111sin10cos10444[点评]本题三角函数均为弦函数，所以变换的角度只涉及角。一般来说，三角式的化简，应首先考虑角，其次是函数名，再次是代数上的结构特点。本题也可用倍角公式，降幂求解。例3、求sin(60)2sin(60)3cos(120)的值。[分析]式中的角存在关系：(60)(120)180解：原式=sin(60)3cos(60)2sin(60)OWN第2页2020-1-9=2sin(6060)2sin(60)=2sin(120)2sin(60)=2sin[180(60)]2sin(60)0[点评]利用角之间特殊关系，使得三角函数值正负抵消。2．给值求值。已知某三角函数值、求其它三角函数的值。一般先化简，再求值。主要方法有：三角变换法、消元法、解方程法、逆用公式等。例4．已知3cos()45,177124，求2sin22sin1tan的值。解：原式=2sincos2sin1tan=2sin(cossin)1tansin2(1tan)1tan。22sin2cos(2)cos[2()][2cos()1]24425。而tantan1tan4tan()1tan41tantan4，由177124,5234，所以234sin()1().455即4tan()43，故原式7428()25375。[点评]：“变角”是解三角函数问题一种常用手段。常用方法：将已知角拆（合）成已知角、特殊角或与已知角有互余、互补关系的角。如2()()，，754530,706010。例5、已知tan()34，2sin22cos求的值。解：由已知得1tan31tan，得1tan2,原式=22sincos2cos=2222sincos2cossincos22tan2tan1=21224215()12。[点评]将“1”代换为三角函数是常用的一种方法。商式关系是求解“齐次”三角函数式2222sincos2cossincos的关键。三、三角恒等式的证明三角恒等式的证明可分为条件恒等式和绝对恒等式，它的证明方法灵活多变。常用思路有：（1）根OWN第3页2020-1-9据式子特征，化繁为简、左右归一，使等式两边化异为同。（2）条件恒等式，注意观察已知条件与求证的等式间的关系，选择适当途径。常用方法有：代入法、消元法、分析法、综合法等。例6、已知,(0,),2223sin2sin1,3sin22sin20，求证：22.[分析]证明：“角+角=角”，一般转化为证明相应的三角函数值。此题可转化为证明sin(2)1cos(2)0或。解：由223sin2sin1,得2212sin3sin,即2cos23sin,由3sin22sin20,得3sin2sin22,所以cos(2)coscos2sinsin223cos3sinsinsin202。又,(0,)2,即32(0,)2,所以22.[点评]证明22或者求角2的值的问题，一般分两步：一是求2的相应的三角函数值；二是讨论所求角2的取值范围。以下练习供参考：1、已知44cos(),cos()55,()(,)2,3()(,2)2,求cos2,cos2的值。2、已知21sin(),sin()35,求tantan的值。3、求cos10cos20cos40cos80的值。4、已知,都是锐角,且510sin,sin510,求证4。答案：1、7,125；2、由tan1sin()tantan110tantansin()tantan131tanxx得tantanx=137；3、116；4、证2cos()2。