三角形解题中的数学思想方法例析

三角形解题中的数学思想方法例析数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此,在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别来讨论，得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法。例如三角形的分类：①按边分：不等边三角形三角形腰和底边不相等的三角形等腰三角形等边三角形②按角分：锐角三角形（三个角都是锐角）三角形直角三角形（有一个角是直角）钝角三角形（有一个角是钝角）例1已知等腰三角形的周长为21㎝，两条边长之差为3㎝，求各边的长。分析已知两边之差为3㎝，则较长的边有可能是腰也有可能是底，故应分两种财政部进行进行讨论。解：设腰长为x㎝，①当较长边为腰时，则有2(3)21xx，解得8x。此时三边长分别为8㎝，8㎝，5㎝。符合题意。②当较长边为底时，则有2(3)21xx，解得6x。此时三边长分别为6㎝，6㎝，9㎝。符合题意。所以三边为8㎝，8㎝，5㎝或6㎝，6㎝，9㎝。例2在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等,一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm,哪一段为6cm,故需分类讨论.解:设腰长为xcm,底边为ycm,即AB=x,则AD=CD=21x,BC=y⑴若x+21x=6时,则y+21x=15.由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13.因为4+413,所以不能构成三角形.⑵若x+21x=15时,则y+21x=6.由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1.10+110符合题意,所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.例3已知非直角三角形ABC中,∠A=45°,高BD和CE所在直线交于H,求∠BHC的度ACBD图1数.分析:三角形的形状不同,高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部,也可能在三角形外部,故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC为锐角三角形时(图2)∵BD、CE是△ABC的高,∠A=45°,∴∠ADB=∠BEH=90°.在△ABD中,∠ABD=180°-90°-45°=45°.∵∠BHC是△BHE的外角,∴∠BHC=90°+45°=135°.⑵当△ABC为钝角三角形时(图3)∵H是△ABC两条高所在直线的交点∠A=45°,∴∠ABD=180°-90°-45°=45°.在Rt△BEH中,∠BHC=180°-90°-45°=45°.∴∠BHC的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题,常常会因为高的位置而需要讨论,否则就会漏解.二、方程思想运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段。例4已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，且它的每一个内角都相等，求这个多边形各角的度数。解析由于内角和等于外角和的3倍，可求出内角和，根据内角和反求出边数是解本题的关键；通过列方程来求解是解此类问题的一般方法。解：设这个多边形的边数为n，则有00180(2)3360n，解得8n。所以每内角的度数为00(82)1808135，或每外角的度数为00360845所以每内角的度数为0135。例5如图4,在△ABC中,∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC.分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程.解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC的外角,所以∠1=x+∠C.又因为∠1=∠2,所以∠2=x+∠C.又因为∠2是△ABD的外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD.所以∠B+∠BAD=∠2+x,即∠B+40°=∠C+2x.因为∠B=∠C,所以2x=40°,解得x=20°.评注:方程是解决很多数学问题的重要工具,很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上,用设未知数的方法表示所求,可使计算过程书写简便,也易于表明角与角之间的关系.三、转化与化归思想转化与化归思想是中学数学中常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，我们在解决数学问题时，经常运用转化与化归的思想，将复杂问题转化成简单的问题，将未知转化为已知，将生疏的问题转化为熟悉的问题等等。例如在本章中多边形的内角和公式和外角和公式都是通过将多边形转化成三角形来解决的。大家可以观察下面例子。例6如图5，一艘货轮在A处看见巡逻艇M在其北偏东620的方向上，此时一艘客轮在B处看见巡逻艇M在其北偏东130的方向上，此时从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB图2ABCDHEABDHCE图3CABDE12x图4有多大？分析F、B、M的连线构成△FBM，所求的∠AMB是△FBM的一个内角，如果能求出△FBM的外角∠AFB、△FBM的内角∠FBM，就能求出∠AMB。本题材可将方位角的问题转化为三角形的内角或外角的问题，这是解决此类问题的关键。解：由AD∥BF，可得∠AFB=∠DAM=620，因为∠AFB=∠AMB+∠FBM所以∠AMB=∠AFB-∠FBM=620-130=490。答：从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB是490。例7如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．解:因为∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D,又因为∠1+∠2+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.评注此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时,应考虑转化为三角形求解.四、整体思想研究某些数学问题时,往往不是以问题的某个组成部分为着眼点,而是将待解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式,整体结构做整体处理后,达到解决问题的目的.例8如图7,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.分析:观察图形可得,图由一个四边形和一个三角形构成,可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为∠A+∠C+∠E=180°,又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.评注:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此,设法整体求值是解题的关键.事实上,有些数学问题,如果从局部去考虑,拘泥于常规,则举步维艰.如果从全局着手,突破常规,则会柳暗花明.五、数形结合思想例9如图8，在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=60°,∠C=45°,求∠ADB和∠ADC的度数.分析:在△ABD中,∠ADB是一个内角,它等于180°-∠B-∠BAD,故求出∠BAD即可求出∠ADB的度数,这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC的度数.解:在△ABC中,∵∠B=60°,∠C=45°,∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°.又∵AD是角平分线,∴∠BAD=∠DAC=21∠BAC=37.5°.ABDC图8AEGFBCD图7ABCDE图612在△ABD中,∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-60°-37.5°=82.5°.同理∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-45°-37.5°=97.5°.评注几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路,进行运算.否则,一头舞水,扑朔迷离,茫然不知所措.六、数学建模思想针对要解决的问题，构建适当的数学模型，再通过对数学模型的研究来达到解决问题的目的的思维方式就是数学建模思想。例10一个零件的形状如图1所示，按规定，∠CAB应等于900，∠C、∠B应分别等于200和300。李师傅量得∠CDB=1420，就断定了这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？分析解决实际问题时，善于将实际问题抽象成数学问题，建立适当的数学模型。由∠A、∠B、∠C的度数计算出∠BDC的大小，即作出判断。本题需将∠BDC转化为三角形的外角。解：延长BD交AC于E，则∠CDB=∠C+∠CED；又∠CED=∠CAB+∠B，所以∠CDB=∠C+∠CAB+∠B=1400。而实际测量∠CDB=1420，所以可以断定这个零件不合格。（此题还有其它解法，图中给出了辅助线）数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想，数学思想方法是具体数学知识技能转化为能力的纽带，是知识与技能的升华．在《三角形》这一章中，蕴涵着许多重要的数学思想，限于篇幅，不一一例说.