【天津市2013届高三数学总复习之综合专题导数在研究函数中的应用2利用导数研究曲线的交点个数(教师版

导数在研究函数中的应用2——利用导数研究曲线的交点个数1、设a为实数，函数.)(23axxxxf（1）求)(xf的极值；（2）当a在什么范围内取值时，曲线)(xfy与x轴仅有一个交点。解：（1）'()fx=32x－2x－1，若'()fx=0，则31x，1x；当x变化时，'()fx，()fx变化情况如下表：∴)(xf的极大值是15()327fa，极小值是(1)1fa。（2）函数322()(1)(1)1fxxxxaxxa，由此可知，取足够大的正数时，有)(xf0，取足够小的负数时有)(xf0，曲线()yfx与x轴至少有一个交点，结合)(xf的单调性可知：当)(xf的极大值527a0，即5(,)27a时，它的极小值也小于0，因此曲线()yfx与x轴仅有一个交点，它在),1(上；当)(xf的极小值01a即a),1(时，它的极大值也大于0，因此曲线()yfx与x轴仅有一个交点，它在)31,(上；所以，当5(,)27a),1(时，曲线()yfx与x轴仅有一个交点。2、已知函数36)2(23)(23xxaaxxf。（1）当2a时，求函数)(xf的极小值；（2）试讨论曲线)(xfy与x轴的公共点的个数。解：（1）)1)(2(36)2(33)(2xaxaxaaxxf,2a12a当ax2或1x时，0)(xf；当12xa时，0)(xf)(xf在)2,(a，),1(内单调递增，在)1,2(a内单调递减,故)(xf的极小值为2)1(af。（2）若,0a则2)1(3)(xxf,)(xf的图象与x轴只有一个交点;若,0a则12a，当12xax或时，0)(xf，当12xa时，0)(xf)(xf的极大值为02)1(af)(xf的极小值为0)2(af)(xf的图象与x轴有三个公共点。若20a，则12a,当axx21或时，0)(xf，当12xa时，0)(xf)(xf的图象与x轴只有一个交点；若2a，则0)1(6)(2xxf,)(xf的图象与x轴只有一个交点；当2a，由（1）知)(xf的极大值为043)431(4)2(2aaf；综上，若,0a)(xf的图象与x轴只有一个公共点；若0a，)(xf的图象与x轴有三个公共点。3、设函数axxxxf2331)(，bxxg2)(，当21x时，)(xf取得极值。（1）求a的值，并判断)21(f是函数)(xf的极大值还是极小值；（2）当]4,3[x时，函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，求b的取值范围。解：（1）由题意axxxf2)(2当21x时，)(xf取得极值，所以0)21(f0212212a即1a此时当21x时，0)(xf，当21x时，0)(xf，)21(f是函数)(xf的最小值。（2）设)()(xgxf，则033123bxxx，xxxb33123设xxxxF331)(23，bxG)(，32)(2xxxF，令032)(2xxxF，解得1x或3x列表如下：函数)(xF在)1,3(和)4,3(上是增函数，在)3,1(上是减函数。当1x时，)(xF有极大值35)1(F；当3x时，)(xF有极小值9)3(F函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，函数)(xF与)(xG的图象有两个公共点35320b或9b，9)35,320(b。