上交概率论A卷04下试卷及答案

A卷共6页第页1上海交通大学《概率论与数理统计》试卷(A)2004.12.29姓名：班级：学号：得分：一．是非题（7分，每题1分）1．设0)(AP，则随机事件A与任何随机事件B一定相互独立.（）2．连续随机变量X的密度函数)(xf与其分布函数)(xF未必相互惟一确定.（）3．若X与Y都是标准正态随机变量，则)2,0(~NYX.（）4.设有分布律：,2/1}/2)1({1nnnnXP),2,1(n，则X的期望存在.（）5.设随机变量序列,,,,21nXXX相互独立，且均服从参数为的指数分布，则niiXnX11依概率收敛于.（）6.区间估计的置信度1的提高会降低区间估计的精确度.（）7．在假设检验中，显著性水平是指1)(00为假拒绝HHP.（）二.选择题（15分，每题3分）1.设连续随机变量X的密度函数满足)()(xfxf，)(xF是X的分布函数，则)2004(XP.)(A)2004(2F；)(B1)2004(2F；)(C)2004(21F；)(D)]2004(1[2F.2.设二维随机变量(,)XY服从G上的均匀分布，G的区域由曲线2xy与xy所围，则(,)XY的联合概率密度函数为.)(A他其,0),(,6),(Gyxyxf；)(B他其,0),(,6/1),(Gyxyxf；)(C他其,0),(,2),(Gyxyxf；)(D他其,0),(,2/1),(Gyxyxf.3.设)0;5.0,0;5.0,0(~),(NYX，YXZ，则方差)(ZD.)(A0；)(B1；)(C/21；)(D/21.4.设总体),1(~pBX，12,,,nXXX是来自总体的样本，X为样本均值，则)/(nkXP.)(Ap；)(Bknkpp)1(；A卷共6页第页2)(CknkknppC)1(；)(DknkknppC)1(.5.设总体),(~2NX，为未知参数，样本12,,,nXXX的方差为2S，对假设检验2:,2:10HH，水平为的拒绝域是.)(A)1(22/12n；)(B)1(212n；)(C)(22/12n；)(D)(212n.三.填空题（15分，每题3分）1．已知7.0)(AP,4.0)(BP,8.0)(ABP,则)(BAAP.2．设随机变量X与Y相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则YXZ的分布函数_________________________)(zFZ.3.设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(XYYDXDYEXE，设2)12(YXZ，则其数学期望)(ZE.4.设随机变量),(~2NX，由切比雪夫不等式知，概率)2(XP的取值区间为与之间.5.设12,,,nXXX是来自总体)(2n分布的样本，X是样本均值，则)(XE，)(XD.四.计算题（57分，前三题每题9分，后三题每题10分）1．一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次，(1)求：第二次才取到新球的概率;(2)发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.A卷共6页第页32．“新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座，（1）求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；（2）若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.3．设随机变量X在),0(a上随机地取值，服从均匀分布，当观察到xX)0(ax时，Y在区间),(ax内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比，求：(1)),(YX的联合密度函数),(yxf；(2)Y的密度函数()Yfy.A卷共6页第页44．学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10%以内，问n应取多大？（用中心极限定理）5．设总体xexfX21)(~0,),(x（未知）且12(,,,)nXXX为来自X的一个样本，求：的(1)矩估计量；(2)极大似然估计量.A卷共6页第页56．自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重),(~2NX，（2,未知）按规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克.一天，为检查机器的工作情况，随机地抽取6袋，测得样本均值3.495x克，样本均方差74.13s克.问：通过检验期望和方差2来判断包装机该天的工作是否正常(=0.05)？五.证明题（6分）设CBA,,是不能同时发生但两两独立的随机事件，且)()()(CPBPAP，证明可取的最大值为1/2.A卷共6页第页6[附正态分布、t分布、2分布数值表]99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(0.0250.0250.050.05(5)2.5706,(6)2.4469,(5)2.0150,(6)1.9432tttt22220.050.050.0250.025(5)11.071,(6)12.592,(5)12.833,(6)14.449概率统计试A卷解析2004.12.29一.是非题是是非非非是非.二.选择题DADCB.三.填空题1.8/7；2.1,110,20,0)(2zzzzzyFY3.4.2；4.0与0.25之间；5.n，2.四.计算题1．解：设iA={第i次取得新球}，i=1,2.(1)设C={第二次才取得新球}，有12CAA12121464()()()(|)10915PCPAAPAPAA，[30/7]；(2)设事件D={发现其中之一是新球}，E={其中之一是新球，另一个也是新球}12121651()()()(|)1093PEDPAAPAPAAA卷共6页第页7121212121121()()()()1()(|)()(|)31644613310910915PDPAAPAAPAAPAPAAPAPAA()1/35(|)()13/1513PEDPEDPD.解法二设事件B{两个中至少有一个是新球}，A{两个都是新球}，则BA，所求条件概率)(BAP21026141621026/)(/)()()()(CCCCCCBPAPBPABP13/53/115/83/1.2.解：分布律[15/115/25/115/43/143210]期望E(X)=35/211.67，P{X2}=10/210.476.3.解他其，0),0(,1)(~axaxfXX,他其，0),(,1)(axyxaxyfXY,他其，0,0,)(1)()(),(ayxaxxaaxyfxfyxfXYX他其，0),0(,ln1)(ayyaaayfY4．解),(~pnBX,pnXE)(,)1()(ppnXD,{||0.1}0.95XPpn.有中心极限定理||0.1{||0.1}{}(1)(1)2()10.9510(1)XXnpnPpPnnppnppnppX012345P6/215/214/213/214/215/21A卷共6页第页82()0.97510(1)19.6(1)nppnpp记)1()(pppg,令021)(ppg,2/1p,4/1maxg22119.6(1)19.696.044pp故n[96.4]+1=97人.5.解：||2221()22xEXxedx，矩估计量2112niiXn；极大似然估计量11||niiXn.6．解：3.495x，74.13s，788.1882s,（1）提出检验假设01:500;:500HH0.0250.05,52.5706,(,2.5706)(2.5706,)tW0|500||495.3500|||2.44950.837913.74xTWsn，[W4098.0]接受0H.（2）提出检验假设2201:100;:100HH,071.11)5(,05.0205.0拒绝域为),071.11(W，Wsn439.9100788.1885)1(20220，接受0H,机器工作正常.五.证明题（6分）)()(CACAB)()(CAPCABP)()()()()()(ACPCPAPABCPCPABP)()()()()()()(CPAPCPAPCPBPAP即222022解此不等式得]2/1,0[，所以可取的最大值为1/2.