【导学案511】数列在日常经济生活中的应用(一)

陕西省柞水中学高二数学备课组北师大版必修51【导学案511】数列在日常经济生活中的应用（一）班级姓名编写人：王松涛审核人：【学习目标】1．通过探究“零存整取”“定期自动转存”两个日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用．2．通过具体问题情境，主动思考交流，讨论概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用．【学习重点】建立“零存整取”“定期自动转存”两个数学模型，并用于解决实际问题．【学习难点】在实际问题情境中，发现并建立以上两个模型．【学习过程】一、课前预习自学（阅读课本内容，归纳梳理下列知识点）（一）知识复习：1、什么是等差数列？其的通项公式和前n项和公式分别是什么？2、什么是等比数列？其的通项公式和前n项和公式又分别是什么？3、等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.你经历过存款吗？你知道储蓄有哪些业务种类？存款与贷款有利息吗？（二）知识链接学习1、银行存款计息方式：①单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：本利和=本金+利息，利息=本金×利率×存期,以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S=P(1＋nr)，②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是S＝p(1＋r)n，常用于定期自动转存或分期付款问题。2、常见的几种储蓄模式（1）活期储蓄（单利计息储蓄）这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时,按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天计算）。月利率=年利率/12，日利率=年利率/360，（2）整存整取定期储蓄（单利计息储蓄）这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金及其利息的一种储蓄。计息公式：利息=本金×存期×年利率（3）零存整取模型（分期单利计息储蓄）零存整取储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱按单利记息：利息=本金×利率×存期，若存期为n,每期存入P元，则这n期的本利和S是：S=np+[p•r•n+p•r•（n-1）+……+p•r•1]即(1)2nnSPnr（4）定期自动转存模型（复利计息储蓄）定期存款自动转存业务，即储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.（二）课前探究与交流思考1：设1年定期年利率是2.25%，某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行100元，连存15年后取出。问：他能取出多少钱?思考2：设1年定期年利率是2.25%，某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他每年至少应存进银行多少钱?思考3：设1年定期年利率是2.25%，某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要连存多少年?二、合作探究，典型突破（一）零存整取模型【探究1】(1)若每月存入金额为p元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取的本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?陕西省柞水中学高二数学备课组北师大版必修52(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?（二）定期自动转存模型【探究2】按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税).我们来讨论以下问题：（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所得本利和的公式;（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?【探究3】某人从2013年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率为p，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有本息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)三、达标检测，巩固提高1、银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，为吸引长期资金，鼓励储户存三年定期存款，那么q的值应略大于()A.1＋r3－1B.13[(1＋r)3－1]C．(1＋r)3－1D．r2、按活期存入银行1000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是()A．1036元B．1028元C．1043元D．1026元3、“教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄方式,为子女接受非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元?4、某人从1月起，每月1日存入银行100元，到12月31日取出全部本金及其利息，已知月利率为0.165%，若不计复利，那么他实际取出多少钱？(不计利息税)【知识小结】1、“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获得的本利和组成一个等差数列的前n项和求和问题，教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄,属于单利计息。2、定期自动转存模型按复利计息，其本息和构成等比数列模型,求存期为n的本利和就是求该等比数列的第n项。