【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件6-2一元二次不等式及其解法

第六章不等式第二节一元二次不等式及其解法考纲导学1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1．不等式12－x13＋x＞0的解集为()A.－13，12B.－∞，－13∪12，＋∞C.－12，13D.－∞，－12∪13，＋∞解析：不等式12－x13＋x＞0，同解于x－12x＋13＜0，又∵相应方程x－12x＋13＝0的两根为：x1＝－13，x2＝12，∴x－12x＋13＜0的解为－13＜x＜12.故原不等式的解集为{x|－13＜x＜12}．答案：A2．不等式x2－|x|－2＜0的解集是()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|x＜－1或x＞1}解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔|x|－2＜0⇔－2＜x＜2，故选A.答案：A3．设二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜13}，则ab的值为()A．－6B．－5C．6D．5解析：因x＝－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－ba＝－1＋13，∴ba＝23，又－1×13＝1a，∴a＝－3，b＝－2，∴ab＝6.答案：C4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由题意可得Δ＝m2－4＞0，即(m－2)(m＋2)＞0，得m＜－2或m＞2.答案：C5．不等式2x2＋2x－4≤12的解集为__________．解析：原不等式⇔2x2＋2x－4≤2－1⇔x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1，解集为[－3,1]．答案：[－3,1]1．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两不等实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实根判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①_______②________③_______ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集④_______⑤______⑥______2.用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解的算法过程．答案：①{x|x＜x1或x＞x2}②{x|x≠x1}③R④{x|x1＜x＜x2}⑤∅⑥∅⑦{x|x≠x1}⑧{x|x＜x1或x＞x2}⑨R1．解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零．(2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式解的结构，写出其解．2．一元二次不等式的解法技巧(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，当a＞0时，其相应一元二次方程的判别式Δ＞0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若Δ＝0或Δ＜0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图象写出不等式的解．(2)当含有参数时，必须要分类讨论．分类是由不确定和不统一而引起的，分类标准是根据需要而设定的，这种“需要”可能是：是什么不等式(一元一次？一元二次？)；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等．(3)要特别注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合的思想和分类讨论思想的应用．考点一一元二次不等式的解法例1(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152(2)(2014·临沂模拟)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.解析：(1)由题意知，不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(－2a,4a)，因为x2－x1＝15，所以4a－(－2a)＝15，解得a＝52.(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0.当a＜1时，不等式等价于a＜x＜1，当a＝1时，不等式解集为∅，当a＞1时，不等式等价于1＜x＜a.综上，a＜1时，解集为{x|a＜x＜1}，a＝1时解集为∅，a＞1时解集为{x|1＜x＜a}．答案：(1)A(2)见解析【师说点拨】(1)解一元二次不等式的一般步骤①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．②判：计算对应方程的判别式．③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．变式探究1(1)(2014·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是()A.－∞，－32∪12，＋∞B.－32，12C.－∞，－12∪32，＋∞D.－12，32(2)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2或x＞－12}，则ax2－bx＋c＞0的解集为__________．解析：(1)不等式f(x)＞0，即(ax－1)(x＋b)＞0，其解集是(－1,3)，所以a＜0，1a＝－1，－b＝3，解得a＝－1，b＝－3，于是f(x)＝(－x－1)(x－3)，所以不等式f(－2x)＜0即为(2x－1)(－2x－3)＜0，解得x＞12或x＜－32.(2)由题意知，－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，故4a－2b＋c＝0，14a－12b＋c＝0，解得a＝c，b＝52c，所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，故解集为{x|12＜x＜2}．答案：(1)A(2)12，2考点二一元二次不等式恒成立问题例2(1)(2014·泉州模拟)若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围为__________．(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.①当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；②当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解析：(1)当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需a＞0，Δ＝22－4×2a＜0，解得a＞12.(2)①f(x)≥a即x2＋ax＋3－a≥0，要使x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，应有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2.②当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a.分以下三种情况讨论：(ⅰ)当－a2≤－2，即a≥4时，g(x)在[－2,2]上单调递增，g(x)在[－2,2]上的最小值为g(－2)＝7－3a，因此a≥4，7－3a≥0，a无解；(ⅱ)当－a2≥2，即a≤－4时，g(x)在[－2,2]上单调递减，g(x)在[－2,2]上的最小值为g(2)＝7＋a，因此a≤－4，7＋a≥0，解得－7≤a≤－4；(ⅲ)－2＜－a2＜2，即－4＜a＜4时，g(x)在[－2,2]上的最小值为g－a2＝－a24－a＋3，因此－4＜a＜4，－a24－a＋3≥0，解得－4＜a≤2.综上所述，实数a的取值范围是－7≤a≤2.答案：(1)12，＋∞(2)见解析【师说点拨】一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．(3)对于ax2＋bx＋c＞0在区间(m，n)上恒成立，一般考虑f(x)在该区间上的最小值大于0.变式探究2(1)在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是__________．(2)不等式x2－3＞ax－a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是__________．解析：(1)由题意得不等式(x＋m)(2－x)＜1，即x2＋(m－2)x＋(1－2m)＞0对任意x∈R恒成立，因此Δ＝(m－2)2－4(1－2m)＜0，即m2＋4m＜0，解得－4＜m＜0.(2)因为x2－3＞ax－a对一切3≤x≤4恒成立，所以a＜x2－3x－1在x∈[3,4]恒成立，令g(x)＝x2－3x－1，x∈[3,4]，即a＜g(x)min，而g(x)＝x2－3x－1＝x－12＋2x－1－2x－1＝(x－1)－2x－1＋2在x∈[3,4]单调递增，故g(x)在x＝3时取得最小值3，则a＜3.答案：(1)(－4,0)(2)a＜3考点三一元二次不等式的应用例3某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍．(1)用x和y表示z；(2)设y＝kx(0＜k＜1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；(3)若y＝23x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围．解析：(1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为P1＋x10元，每月卖出数量为n1－y10件，每月售货总金额是npz元，因而npz＝p1＋x10·n1－y10，所以z＝10＋x10－y100.(2)在y＝kx的条件下，z＝10＋x10－kx100，整理可得z＝1100·100＋251－k2k－k·x－51－kk2，由于0＜k＜1，所以51－kk＞0，所以使z值最大的x值是x＝51－kk.(3)当y＝23x时，z＝10＋x10－23x100，要使每月售货总金额有所增加，即z＞1，应有(10＋x)·10－23x＞100，即x(x－5)＜0，所以0＜x＜5，所以所求x的范围是(0,5)．【师说点拨】不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用题，要审清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键．变式探究3某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解析：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－1.2－1×1000＞0，0＜x＜1，即－60x2＋20x＞0，0＜x＜1.解得0＜x＜13.∴投入成本增加的比例应在0，13范