【数学】13_算法

第一章算法初步1.3算法案例例：求下面两个正整数的最大公约数：（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公约数？辗转相除法与更相减损术一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。2、步骤（以求8251和6105的最大公约数的过程为例）第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例：用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？程序框图：开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？程序：INPUT“m,n=”;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND1.定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。二、更相减损术2、方法：例:用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7INPUTm,nIFmnTHENa=mm=nn=aENDIFK=0WHILEmMOD2=0ANDnMOD2=0m=m/2n=n/2k=k+1WENDd=m-nWHILEdnIFdnTHENm=dELSEm=nn=dENDIFd=m-nWENDd=2k*dPRINTdEND思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？（1）设计求多项式763452)(2345xxxxxxf当x=5时的值的算法，并写出程序。（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？三、秦九韶算法引导学生把多项式变形为：7)6)3)4)52((((763452)(2345xxxxxxxxxxxf思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法”（4）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？计算只与多项式的系数有关，《数书九章》——秦九韶算法0111)(axaxaxaxfnnnn设)(xf是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：0111)(axaxaxaxfnnnn01211)(axaxaxannnn012312))((axaxaxaxannnn0121)))((axaxaxaxannn这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？0121)))(()(axaxaxaxaxfnnn要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即11nnaxav然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即212naxvv323naxvv01axvvnn最后的一项是什么？这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。程序框图：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。输入ai开始输入n,an,xi=0?输出v结束v=vx+aii=i-1YNi=n-1V=an),,,(nkaxvvavknkkn2110秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。程序：INPUT“n=”；nINPUT“an=“;aINPUT“x=“;xv=ai=n-1WHILEi=0PRINT“i=“;iINPUT“ai=“;av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND四、进位制1、什么是进位制？进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。比如：满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制基数：“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．•最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.•古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.•比如时间和角度的单位用六十进位制,计算“一打”数值时是12进制的。•电子计算机用的是二进制。式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。十进制：例如133.59，它可用一个多项式来表示：133.59=1*102+3*101+3*100+5*10-1+9*10-2实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。其它进制：二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制……二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.例如十进制的133.59，写成133.59(10)七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起的形式：110()110(0,0,,,).nnknnaaaaakaaak十进制的构成十进制由两个部分构成例如：3721其它进位制的数又是如何的呢？第一、它有0～9十个数字；第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。(用10个数字来记数，称基数为10)01231011021071037213表示有：1个1，2个十，7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方十进制：“满十进一”110()110110(10)nnknnnnaaaaakakakak其它进制数化成十进制数公式二进制二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001二进制的表示方法区分的写法：11001（2）或者(11001)201234(2)212020212111001八进制呢？如7342(8)k进制呢？anan-1an-2…a1(k)？二进制与十进制的转换1、二进制数转化为十进制数例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。解：根据进位制的定义可知012345)2(21212020212111001112116132151所以，110011（2）=51．例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制数b。(1)算法步骤:第一步，输入a,k和n的值；第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；第三步，b=b+ai*ki-1,i=i+1第四步，判断in是否成立.若是,则执行第五步,否则,返回第三步；第五步，输出b的值.(2)程序框图:开始输入a,k,nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给tb=b+t*ki-1i=i+1in?否是输出b结束(3)程序：INPUT“a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=aMOD10DOb=b+t*k^(i-1)a=a\10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILinPRINTbEND**上面的程序如采用get函数,可简化为：INPUTa,k,ni=1b=0WHILEi=nt=GETa[i]b=t*k^(i-1)+bi=i+1WENDPRINTbEND备注:GET函数用于取出a的右数第i位数方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。例、把89化为二进制数解：根据“逢二进一”的原则，有89＝2×44＋1＝2×(2×22＋0)+1＝2×(2×(2×11＋0)+0)+1＝2×(2×(2×(2×5＋1)+0)+0)+15＝2×2＋1＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋189＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20所以：89=1011001（2）＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1＝26＋24+23＋0＋0＋2089＝2×44＋144＝2×22＋022＝2×11＋011＝2×5＋1＝2×(2×(2×(2×(2×2＋1)+1)+0)+0)+1所以89＝2×（2×（2×（2×（2×2＋1）＋1）＋0）＋0）＋12、十进制转换为二进制注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）另解（除2取余法的另一直观写法）：522212010余数11224489222201101练习将下面的十进制数化为二进制数？（1）10（2）20把89化为五进制数。3、十进制转换为其它进制解：根据除k取余法以5作为除数，相应的除法算式为：所以，89=324（5）895175350423余数