上海圆锥曲线重要解题方法

1FAPHBQ上海解圆锥曲线问题常用方法【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）2xy0ABCMD5F′FPHy0xA连PF，当A、P、F三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF的方程为)1(13024xy即y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41）过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=41，∴Q(1,41)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，∴PHPFPHPF2,21即∴PHPAPFPA2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MDMC）。3解：如图，MDMC，∴26MBMADBMBMAAC即∴8MBMA（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为1151622yx点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=53sinA2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BCACAB53即6ACAB（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为116922yx（x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx①②③4xy0MABA1A2M1M2B1B2由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9④由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9∴2020041944xxy，1149)14(4944202020200xxxxy≥,5192450y当4x02+1=3即220x时，45)(min0y此时)45,22(M法二：如图，32222ABBFAFBBAAMM∴232MM，即23411MM，∴451MM，当AB经过焦点F时取得最小值。∴M到x轴的最短距离为45点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。例6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、5xyF1F20ABCDD、设f(m)=CDAB,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf)()(2DACBxxxx)(2CBXx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（1）椭圆1122mymx中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB（2）)1211(2121122)(mmmmf∴当m=5时，9210)(minmf当m=2时，324)(maxmf6点评：此题因最终需求CBxx，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得0100kmymx，将y0=x0+1，k=1代入得01100mxmx，∴120mmx，可见122mmxxCB当然，解本题的关键在于对CDABmf)(的认识，通过线段在x轴的“投影”发现CBxxmf)(是解此题的要点。【同步练习】1、已知：F1，F2是双曲线12222byax的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若mAB，△ABF2的周长为（）A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ACAB，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（）A、13422yxB、)0(13422xyxC、)0(13422xyxD、)00(13422yxyx且4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（）A、)1(49)21(22xyxB、)1(49)21(22xyxC、)1(49)21(22xyxD、)1(49)21(22xyx5、已知双曲线116922yx上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是78、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=10、设点P是椭圆192522yx上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，34AB，求直线l的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线)0,0(12222babyax及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：CDAB。参考答案1、C8yF2F1PxaBFBFaAFAF2,21212，∴,24,42222maABBFAFaABBFAF选C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C3、D∵22ACAB，且ACAB∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。4、A设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得4)2()12(122yx，∴49)21(22yx①又ca,∴2)1(22yx∴(x-1)2+y24②，由①，②得x≠-1，选A5、329左准线为x=-59，M到左准线距离为529)59(4d则M到左焦点的距离为32952935ed6、)21(21yx设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22)∴)(2212121xxxxyy∴2=2·2x，21x将21x代入y=2x2得21