【整理】广东省中山市2012届高三上学期期末试题数学理

中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知角的终边在第二象限，则2的终边所在的象限为A．第一或第二象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限D．第一或第四象限2．设m，n是两条不同直线，,是两个不同的平面，给出下列四个命题①若nmnm//,//,则②则,,,nmnm③若,//,//,//nmnmm则且④若//,,则mm其中正确的命题是A．①B．②C．③④D．②④3．已知3sin(),sin245则的值为A．1925B．725C．1625D．7254.如程序框图：若输入72m，30n，则输出nA．0B．3C．6D．12开始是输出n结束求m除以n的余数r输入m,nm=nn=rr=0?否（第4题）5．已知变量420,230,log(24)0xyxyxyzxyx满足则的最大值为A．2B．32C．23D．16．若{}na是等差数列，首项10,a201120120aa，201120120aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是A．2011B．2012C．4022D．40237．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为A．10B．15C．21D．308．如图，将45的直角三角板ADC和30的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中45的直角三角板的斜边AC与30的直角三角板的30所对的直角边重合，若DBxDAyDCuuuruuuruuur，则x，y分别等于A．3,1B．3,31C．2,3D．31,3（第8题图）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．命题“,cos1xxR”的否定是.10．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三级中抽取的学生人数为.11．已知2~(1,),(3)0.2,XNPX若)13(XP则．12．已知函数()lnfxx.若0ab,且()()fafb，则ab的取值范围是.高一级高二级高三级女生385xy男生375360z13．定义运算abadbccd，函数12()3xfxxx图像的顶点是(,)mn，且kmnr、、、成等比数列，则krg=_____________.14．设函数)(xf的定义域为R，若存在常数．．．．0G使()100Gfxx对一切实数x均成立，则称函数)(xf为G函数．现给出下列函数：①222()1xfxxx，②2()sinfxxx，③()2(13)xfxx，④)(xf是定义在R的奇函数，且对一切21,xx，恒有1212()()100fxfxxx．则其中是G函数的序号为____________.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，满足222.acbac（1）求角B的大小；（2）若,0x，求函数xBxxfsin)sin()(的值域。16．（本小题满分12分）我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的。（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；（2）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求的分布列与数学期望。17．（本小题满分14分）如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4.M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。（1）求证：MNAB；（2）求二面角S—ND—A的余弦值；（3）求点A到平面SND的距离。18．（本小题满分14分）已知数列{na}的前n项和为nS，满足22nnSna（1）证明:数列{na+2}是等比数列.并求数列{na}的通项公式na；（2）若数列{nb}满足2log(2)nnba，设nT是数列}2{nnab的前n项和.求证：32nT.19．（本小题满分14分）大闸蟹味道鲜美，主要产于太湖流域，在自然状态下它是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对蟹群总量的影响。用xn表示某蟹群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内蟹群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与2nx成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）试用xn表示成xn+1的函数；（2）猜想：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初蟹群的总量保持不变？（不要求证明．．．．．）（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。20．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1fxxkx（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：①ln(1)22+xx在（，）上恒成立②2ln(1)(,n1)14niinnnNi中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题BDBCBCBB二、填空题9．,cos1xRx；10.25；11．0.6；12．(2,)；13.14；14.①④.三、解答题15．（本小题满分12分）甲、乙、丙这三个学生每人参加A或B社团的概率都是25，所以分布列为2(3,)5B:……10分由此期望26355Enp………12分17.（本小题满分12分）yzSNDm=xyzmSN=0mDN=0m=21ANDn=0016cos6mnmnururuururuuurggurrurrgurr设平面的法向量为（，，）则：且令解z=1得：x=2,y=-1（，-1，）又平面的法向量为（，，）(1)略证：作MEAC,连接NE,可证得AB平面MNE,即得MNAB…………4分解法二：（向量法）B为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图)（1）由题意得M(1，2，1)，N（0，2，0）MN=(-1,0,-1),AB=(0,2,0),MNAB0,MNABuuuruuuruuuruuurg所以：…………4分（2）…………7分…………10分（3）63ANmdmuuururgur…………14分18（本小题满分14分）证明：（1）由22nnSna得Sn=2an－2n当n∈N*时，Sn=2an－2n，①当n=1时，S1=2a1－2，则a1=2，………1分则当n≥2,n∈N*时，Sn－1=2an－1－2(n－1).②①－②，得an=2an－2an－1－2，即an=2an－1+2，………………………2分∴an+2=2(an－1+2)∴.2221nnaa………………………4分∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列.………………………5分∴an+2=4·2n－1，∴an=2n+1－2，…………………………………6分（2）证明：由,212,12log)2(log1122nnnnnnnabnab得………7分则③④…………………9分③－④，得23412121111222222nnnnTL………………13分所以12323nnnT32………………14分19.（本小题满分14分）解（1）从第n年初到第n+1年初，蟹群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为2211,,*.*(1),*.nnnnnnnnncxxxaxbxcxnNxxabcxnN因此（）即……（4分）（2）若每年年初蟹群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，即11nnxxxL从而由（*）式得..0*,,0)(11cbaxcxbaNncxbaxnn即所以恒等于因为x10，所以ab.猜测：当且仅当ab，且cbax1时，每年年初蟹群的总量保持不变.…（8分）（3）若要b的值使得xn0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0xn3－b,n∈N*,特别地，有0x13－b.即0b3－x1.而x1∈(0,2)，所以]1,0(b由此猜测b的最大允许值是1.……（10分）下证（数学归纳法）：当x1∈(0,2)，b=1时，都有xn∈(0,2),n∈N*①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0,2),………（11分）则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)0.又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤12,所以xk+1∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.………（13分）由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).综上所述，为保证对任意x1∈(0,2),都有xn0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.………………………………（14分）20.（本小题满分14分）222maxln(1)1ln(1)1x1,()11111ln(1)1ln(1)'(),111122+()=(2)1,1xxkgxxxxxxxgxxxxgxgk可知所以令则所以（，]为增区间，[，）为减区间，由此：即解：（1）函数kxxfxf11)('),,1()(的定义域为…………………（1分）当0k时011)('kxxf，则),1()(在xf上是增函数………（2分）当0k时，若)11,1(kx时有011)('kxxf………（3分）若),11(kx时有011)('kxxf则)11,1()(kxf在上是增函数，在),11(k上是减函数……………………（5分）（2）解法一：由（I）知0k，时),1()(在xf递增，而0)(,01)2(xfkf不成立，故0k……………………………………（7分）又由（I）知kkfyln)11(max，要使0)(xf恒成立，则0ln)11(maxkkfy即可。由10lnkk得……………（9分）解法二（分离变量法）：………………（9分）（3）①证明；由（2）知，当1k时有),1(0)(在xf恒成立，且),2[)(在xf上是减函数，0)2(f，0)(),,2(xfx恒成立，即),2(2)1ln(在xx上恒成立。……………………（11分）②证明：令21nx，则1ln22nn，即)1)(1(ln2nnn，从而211lnnnn，成立………………（14分）