上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练空间几何体含答案(精品)

复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R)()A．R42B．R3C．R2D．3R【答案】B2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E、F，且33EF。给出下列四个结论：①BF//CE；②CE⊥BD；③三棱锥E—BCF的体积为定值；④△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；其中，正确结构的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C3．若a=(2,2,0),b=(1,3,z),a,b=60°,则z=()A．22B．－22C．±22D．±22【答案】C4．已知直线l、m、n与平面α、β给出下列四个命题：①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n④若m⊥β，α⊥β，则m∥α。其中，假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B5．如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是()【答案】A6．M是空间直角坐标系Oxyz中任一点（异于O），若直线OM与xOy平面，yoz平面，zox平面所成的角的余弦值分别为p,q,r，则p2+q2+r2=()A．41B．1C．2D．49【答案】C7．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是()A．一定是正三棱锥B．一定是正四面体C．不是斜三棱锥D．可能是斜三棱锥【答案】D8．在平行六面体1111ABCDABCD中，点M为AC与的BD的交点，ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与1BM相等的是()A．1122abcB．1122abcC．1122abcD．1122abc【答案】A9．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的半径是()cm.A．1B．2C．3D．2【答案】C10．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下【答案】B11．一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定【答案】D12．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A．21π+32B．41π+36C．21π+66D．21π+32【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，90ABC，则该四面体的表面共有个直角三角形.【答案】414．棱长为1的正方体1111DCBAABCD中11CA到面ABCD的距离为.【答案】115．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为____________【答案】3216．以下4个命题其中正确的命题是____________(1)如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；(2)如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；(3)如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；(4)如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台。【答案】（3）三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.【答案】设圆台的母线长为l,则圆台的上底面面积为224S上圆台的上底面面积为2525S下所以圆台的底面面积为29SSS下上又圆台的侧面积(25)7Sll侧于是725l即297l为所求.18．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。(1）求证：CE⊥平面PAD；(11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积【答案】(1)因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CDcos451,CE=CDsin451.又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以ABCDABCEBCDSSS=12ABAECEDE=15121122,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于115513326ABCDSPA19．如图，ABCD，，，为空间四点．在ABC△中，22ABACBC，．等边三角形ADB以AB为轴运动．(Ⅰ）当平面ADB平面ABC时，求CD；(Ⅱ）当ADB△转动时，是否总有ABCD？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）取AB的中点E，连结DECE，，因为ADB是等边三角形，所以DEAB．当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE由已知可得31DEEC，，在DECRt△中，222CDDEEC．(Ⅱ）当ADB△以AB为轴转动时，总有ABCD．证明如下：①当D在平面ABC内时，因为ACBCADBD=，，所以CD，都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD．②当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知ABDE．又因ACBC，所以ABCE．又DECE，为相交直线，所以AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD．综上所述，总有ABCD．20．如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜足，,AOO为垂足，BC为内的一条直线，60,45ABCOBC，求斜线AB和平面所成角【答案】∵AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角，又∵12coscoscos，∴coscos60122coscoscos45222ABCABOCBO，∴45BAO，即斜线AB和平面所成角为45．21．如图，已知三棱柱111CBAABC的侧棱与底面垂直，11AAABACABAC，，M是1CC的中点，N是BC的中点，点P在直线11BA上，且满足111BAPA．(1）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？(2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，试确定点P的位置．【答案】(1）以AB,AC,1AA分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系xyzA，则)1,21,21(PN，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n则45211,cossin2nPNnPNnPN(*）于是问题转化为二次函数求最值，而[0,],2当最大时，sin最大，所以当21时，552)(sinmax.(2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，即可得到平面ABC的一个法向量为1(0,0,1)nAA，设平面PMN的一个法向量为(,,)mxyz，1(,1,)2MP.由00MPmNPm得11()022102xyzxyz，解得2132(1)3yxzx.令3,(3,21,2(1))xmmn得这样和就表示出来了，于是由22)1(4)12(9)1(2,cos22nmnmnm，解得111,2PBA故点在的延长线上，且112AP.22．如图，四棱柱1111ABCDABCD中，1AD平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱12AA.(1）求证：1//CD平面11ABBA；(2）求直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值.【答案】(1）证明：四棱柱1111ABCDABCD中，11//BBCC，又1CC面11ABBA，所以1//CC平面11ABBA，ABCD是正方形，所以//CDAB，又CD面11ABBA，所以//CD平面11ABBA，所以平面11//CDDC平面11ABBA，所以1//CD平面11ABBA.(2）解：ABCD是正方形，ADCD，因为1AD平面ABCD，所以1ADAD，1ADCD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，在1ADA中，由已知可得13AD，所以11(0,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(1,1,3)DAAC，11(0,1,3),(1,0,3),(1,1,0)BDB，1(2,1,3)BD，因为1AD平面ABCD，所以1AD平面1111ABCD，111ADBD，又1111BDAC，所以11BD平面11ACD，所以平面11ACD的一个法向量为(1,1,0)n，设1BD与n所成的角为，又),3,1,2(1BD则1133cos428BDBDnn.所以直线1BD与平面11ACD所成角的正弦值为34.