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热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【考情报告】年份题型考点2012年2013年2014年小题第7题:新定义试题,涉及等比数列的判定第17题:以“三角形数”为背景,归纳猜想数列的通项公式大题第20题:由基本量求等差数列的通项公式;求含绝对值的数列的前n项和第19题:由基本量求等比数列的通项公式;涉及数列前n项和的数列不等式的存在性问题第19题:等差、等比数列的性质与解一元二次不等式交汇命题热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【考向预测】数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考数学中有着十分重要的地位.从近几年高考对数列的考查来看,对等差、等比数列的通项以及求和的考查仍然是重点.在平时复习与训练中要注意基本方法与基本题型,同时我们要注意“巧用性质、减少运算量”在等差数列、等比数列的计算中非常重要.在考查方向上我们要注意以下方面:一是等差数列、等比数列的基本量计算;二是一个等差数列与等比数列乘积式求和,我们要熟练使用“错位相减法”;三是裂项求和问题.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【问题引领】1.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则𝑆3-𝑆2𝑆5-𝑆3的值为().A.12B.12或2C.2D.-2或12热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】设公差为d,则(a1+2d)2=a1(a1+3d),即𝑎12+4a1d+4d2=𝑎12+3a1d,解得a1=-4d(d=0舍去).故𝑆3-𝑆2𝑆5-𝑆3=𝑎3𝑎4+𝑎5=-4𝑑+2𝑑-4𝑑+3𝑑-4𝑑+4𝑑=2.【答案】C2.设Sn为数列{an}的前n项和,若不等式𝑎𝑛2+𝑆𝑛2𝑛2≥m𝑎12对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为().A.14B.15C.1D.无法确定热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】因为Sn=12n(a1+an),所以原不等式可化为𝑎𝑛2+14(a1+an)2≥m𝑎12.若a1=0,则原不等式恒成立;若a1≠0,则有m≤54(𝑎𝑛𝑎1)2+12(𝑎𝑛𝑎1)+14,而54(𝑎𝑛𝑎1)2+12(𝑎𝑛𝑎1)+14=54(𝑎𝑛𝑎1+15)2+15≥15,则m≤15.故实数m的最大值为15.【答案】B3.(2014广东卷)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2𝑎35=5log2a3=5log2𝑎1𝑎5=5log22=5.【答案】54.数列{an}的前n项和为Sn,且an=nsin𝑛π2+12,则S2015=.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】S2015=12×2015+(1-3)+(5-7)+(9-11)+…+(2013-2015)=20152+(-2)×10082=-12.【答案】-125.(2014山东卷)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=𝑎𝑛(𝑛+1)2,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=𝑎𝑛(𝑛+1)2=n(n+1),所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n=𝑛2(4+2n)2=𝑛(𝑛+2)2,当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=(𝑛-1)(𝑛+1)2-n(n+1)=-(𝑛+1)22.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)所以Tn=-(𝑛+1)22,n为奇数,𝑛(𝑛+2)2,n为偶数.6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:数列{an+12}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)证明:1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛32.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】(1)在an+1=3an+1中两边同时加12,an+12=3(an-1+12),即数列{an+12}是以3为公比,a1+12=32为首项的等比数列.∴an=32×3n-1-12=3𝑛-12.(2)(法一:放缩法)∵1𝑎𝑛=23𝑛-1,∴1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛=231-1+232-1+233-1+…+23𝑛-12+131-1+1+2+132-1+1+2+133-1+1+…+2+13𝑛-1+1热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)=32(1-13𝑛)32.(本题用到性质:若a、b、m均为正数,且ab,则𝑏+𝑚𝑎+𝑚𝑏𝑎.)(法二:放缩法)由(1)知1𝑎𝑛=23𝑛-1,1𝑎1=1.当n1时,1𝑎𝑛=23𝑛-113𝑛-1,∴1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛1+131+132+…+13𝑛-1=1-13𝑛1-13=32(1-13𝑛)32.∴1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛32,n∈N*.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【诊断参考】1.等差数列、等比数列是高考的重点,一方面应该熟悉公式,同时又要熟练运用公式的变形,本题的关键是通过(a1+2d)2=a1(a1+3d)找到a1与d的关系以减少变量.注意高考数列题“小、巧、活”的特点.2.将已知不等式用an与a1表示后分离参数m转化为函数的最值问题求解.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时,所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)3.等比数列基本量的计算是重点,我们常常通过公式挖掘Sn、an、n、q之间的关系进而求解.本题我们发现a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11,后面整体处理可使问题迎刃而解,如果本题死套公式去求解,就会增加计算量.4.能够把an=nsin𝑛π2+12具体化,利用分组求和法进行计算.数列中Sn与an的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最常见的题型之一,要切实注意Sn与an之间的关系.5.近几年高考卷中数列一般放在解答题的较前位置,着重考查数列的基本知识.本题的难点是裂项求和以及对n为奇数和n为偶数的讨论.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)6.本题第一问要求按照题中给出的模式证明数列{an+12}是等比数列,从而求出数列{an}的通项公式;第二问要能够利用放缩法进行解题.数列与函数、不等式、三角、概率等的综合问题体现了高考常在“知识交汇点”上命题.今后在这方面我们要加强训练.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【知识整合】一、Sn与an之间的关系在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an,从而an=𝑆1,n=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,n≥2.二、等差数列的相关公式与性质如果数列{an}是公差为d的等差数列,则1.an=a1+(n-1)d,Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2.2.对正整数m,n,p,q,有am+an=ap+aq⇔m+n=p+q,am+an=2ap⇔m+n=2p.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)三、等比数列的相关公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列,则1.an=a1qn-1,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛q1-𝑞,q≠1,𝑛𝑎1,q=1.2.对正整数m,n,p,q,有aman=apaq⇔m+n=p+q,aman=𝑎𝑝2⇔m+n=2p.四、等差、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列;若等比数列的前n项和为Sn,则当Sm不等于0时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)五、在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解:1.当a10,d0时,满足𝑎𝑚≥0,𝑎𝑚+1≤0的项数m使得Sm取最大值.2.当a10,d0时,满足𝑎𝑚≤0,𝑎𝑚+1≥0的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,要注意转化思想的应用.六、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法等.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【考点聚焦】热点一:等差数列的通项、求和及其性质等差数列问题中最基本的量是首项和公差.解题时根据已知条件求出这两个量,其他的问题也可随之解决,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程思想的运用.在等差数列{an}中,a1+a99=20,则12a50+a20+a80=.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【分析】利用等差数列的性质求解即可.【解析】∵数列{an}为等差数列,a1+a99=20,∴2a50=a1+a99=20,即a50=10,又a20+a80=2a50,则12a50+a20+a80=12a50+(a20+a80)=12a50+2a50=52a50=52×10=25.【答案】25【归纳拓展】等差数列的相关问题可通过转化为a1与d的关系式进行求解,也可灵活应用等差数列的性质(对正整数m,n,p,q,m+n=p+q⇒am+an=ap+aq)求解.本题采用等差数列的性质求解更简便.变式训练1设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15,∴4𝑎1+4×32d≥10,5𝑎1+5×42d≤15,即2𝑎1+3d≥5,𝑎1+2d≤3,∴5-3𝑑2≤a1≤3-2d,∴5-3𝑑2≤3-2d,∴d≤1,∴a4=(a1+2d)+d≤3+d≤3+1=4.故a4的最大值为4.【答案】4热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)(2014新课标全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)【分析】能够将题中的Sn合理地转化为an,并能够利用等差数列的定义解题.【解析】(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.热点重点难点专题透析·数学文科(HUB)因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.【归纳拓展】存在探索性问题是高考考查数学能力的良好素材,高考重视此类问题的考查.存在探索性问题的基本解法是先假设其存在,在这个假设下进行推理论证或计算,若能得出符合数学规律的结论,则肯定其存在,否则就不存在.变式训练2已知数列{an},{bn}满足bn=an+1-an,其中n