搜索
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【引言】填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.数学填空题的特点热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过程,因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.填空题大多数能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的题目或基本题型.填空题不需过程,不设中间分值,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,除直接推理计算外,还要讲究一些解题策略,有时要尽量避开常规解法.数学填空题的类型热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解,不等式的解集,函数的定义域、值域、最大值或最小值,线段的长度,角度的大小,等等.由于填空题和选择题相比,缺少选择的信息,所以高考题中多数是以定量型问题出现.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.解数学填空题的原则解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)空题时要做到:快——运算要快,力戒小题大做;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意.【题型示例】常规填空题的解法方法一:直接求解法热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论.直接法是填空题最基本的解法,是解决大多数填空题的解法.复数(𝟏+𝐢𝟏-𝐢)2=.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】(𝟏+𝐢𝟏-𝐢)2=i2=-1.【答案】-1热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】∵𝐂𝟏𝟎𝟑x7a3=15x7,∴𝐂𝟏𝟎𝟑a3=15,即a=𝟏𝟐.【答案】𝟏𝟐热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若1+𝐭𝐚𝐧𝑨𝐭𝐚𝐧𝑩+𝟐𝒄𝒃=0,则A=.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】由正弦定理可得𝒄𝒃=𝐬𝐢𝐧𝑪𝐬𝐢𝐧𝑩,1+𝐭𝐚𝐧𝑨𝐭𝐚𝐧𝑩+𝟐𝒄𝒃=1+𝐬𝐢𝐧𝑨𝐜𝐨𝐬𝑩𝐜𝐨𝐬𝑨𝐬𝐢𝐧𝑩+𝟐𝐬𝐢𝐧𝑪𝐬𝐢𝐧𝑩=0,所以有cosAsinB+sinAcosB+2sinCcosA=0,即sin(A+B)+2sinCcosA=0,在三角形中sin(A+B)=sinC≠0,于是有1+2cosA=0,cosA=-𝟏𝟐,A=𝟐𝛑𝟑.【答案】𝟐𝛑𝟑热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)(2014湖北卷)设向量a=(3,3),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】因为a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ),因为(a+λb)⊥(a-λb),所以(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0,解得λ=±3.【答案】±3热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)方法二:特殊化求解法当答案是定值且用的特殊值是题意的某种情况时,那么我们用特例求解就能达到好的效果.特殊化求解就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设中的普遍条件,得出一般的结论.常用的特例有特殊数值、特殊角、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等.这种方法实际上是一种“小题小做”的解题策略,对解答某些填空题有时往往十分奏效.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)(2014辽宁卷)已知椭圆C:𝒙𝟐𝟗+𝒚𝟐𝟒=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则𝑨𝑵+𝑩𝑵=.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】不妨设点M(0,2),则点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A(-2𝟓,-2),B(2𝟓,-2),设线段MN的中点为(0,-2),则点N(0,-6),所以𝑨𝑵+𝑩𝑵=12.【答案】12热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上的一点(包括端点),则𝑨𝑫·𝑩𝑪的取值范围是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】建立平面直角坐标系,不妨设A(0,0),C(1,0),则B(-1,𝟑),则BC所在的方程为y=-𝟑𝟐x+𝟑𝟐,设点D的坐标为(x0,y0),则-1≤x0≤1,所以𝑨𝑫·𝑩𝑪=2x0-𝟑y0=𝟕𝟐x0-𝟑𝟐,因为-1≤x0≤1,所以𝑨𝑫·𝑩𝑪的取值范围是[-5,2].【答案】[-5,2]热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)已知△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且角A,B,C成等差数列,△ABC的面积S=𝒃𝟐-(𝐚-𝐜)𝟐𝒌,则实数k的值为.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】(法一)因为角A,B,C成等差数列,即2B=A+C,又A+B+C=π,所以B=𝛑𝟑,S=𝟏𝟐acsinB=𝟑𝟒ac,又S=𝒃𝟐-(𝐚-𝐜)𝟐𝒌=-𝟐𝒂𝒄𝐜𝐨𝐬𝑩+𝟐𝒂𝒄𝒌=𝒂𝒄𝒌,所以𝟏𝒌=𝟑𝟒,即k=𝟒𝟑𝟑.(法二)不妨设A=30°,B=60°,C=90°.a=1,b=𝟑,c=2,则S=𝟑𝟐,代入S=𝒃𝟐-(𝐚-𝐜)𝟐𝒌,可得k=𝟒𝟑𝟑.【答案】𝟒𝟑𝟑热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)方法三:数形结合法数形结合法就是利用图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来,利用几何直观性,再辅以计算,求出正确答案的方法.这种解法贯穿数形结合思想始终,每年高考均有填空题、选择题、解答题可以用数形结合思想解决,既简热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)捷又迅速.数形结合法最主要的是利用数和形的结合,找到解决问题的思路,能较快较准地解决问题.关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不同的根且均大于2,则实数m的取值范围是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)解析】设二次函数f(x)=x2+(m-2)x+5-m,开口向上,对称轴为x=𝟐-𝒎𝟐.∵关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不同的根且均大于2,热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)∴结合二次函数图象的相关知识得𝒇(𝟐)𝟎,𝟐-𝒎𝟐𝟐,𝜟𝟎,∴𝟒+𝟐𝒎-𝟒+𝟓-𝒎𝟎,𝟐-𝒎𝟒,(𝒎-𝟐)𝟐-𝟒(𝟓-𝐦)𝟎,∴𝒎-𝟓,𝒎-𝟐,𝒎𝟒或𝒎-𝟒,∴-5m-4.【答案】(-5,-4)热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)若点(1,1)在不等式组𝒎-𝒏𝒙+𝒚≥𝟎,𝟐𝒎𝒙-𝒏𝒚-𝟒≤𝟎,𝒏𝒙≥𝟑𝒚-𝟑𝒎所表示的平面区域内,则m2+n2的取值范围是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】将(1,1)代入不等式组𝒎-𝒏𝒙+𝒚≥𝟎,𝟐𝒎𝒙-𝒏𝒚-𝟒≤𝟎,𝒏𝒙≥𝟑𝒚-𝟑𝒎,得𝒎-𝒏+𝟏≥𝟎,𝟐𝒎-𝒏-𝟒≤𝟎,𝟑𝒎+𝒏-𝟑≥𝟎,画出(m,n)表示的平面区域,该区域是由热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)C(5,6),B(𝟏𝟐,𝟑𝟐),A(𝟕𝟓,-𝟔𝟓)构成的三角形内部及边界区域,m2+n2的几何意义是点(m,n)到原点的距离的平方,易见点C到原点的距离最大,故m2+n2的最大值为61,利用点到直线的距离公式可得原点到直线3m+n-3=0的距离为𝟑𝟏𝟎𝟏𝟎,所以m2+n2的最小值为𝟗𝟏𝟎.【答案】[𝟗𝟏𝟎,61]热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)当0≤x≤1时,不等式sin𝛑𝒙𝟐≥kx成立,则实数k的取值范围是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】用数形结合法.∵0≤x≤1,∴0≤𝛑𝒙𝟐≤𝛑𝟐.则函数y1=sin𝛑𝒙𝟐(0≤x≤1)的图象如图所示.要使不等式sin𝛑𝒙𝟐≥kx在[0,1]上恒成立,则k≤1.【答案】k≤1热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量𝑨𝑩在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则𝑨𝑷·𝑨𝑩的取值范围是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】建立平面直角坐标系如下图,设点P的坐标为(x,y),则𝑨𝑩=(1,0),𝑨𝑷=(x,y),所以𝑨𝑷·𝑨𝑩=x,因为点P在圆上,所以-5≤x≤5,即-5≤𝑨𝑷·𝑨𝑩≤5.【答案】[-5,5]热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)方法四:等价转化法通过“化复杂为简单,化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而迅速准确地得到结果.(2014湖南卷)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,𝟑),C(3,0),动点D满足𝑪𝑫=1,则𝑶𝑨+𝑶𝑩+𝑶𝑫的最大值是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】设出点D的坐标,求出点D的轨迹后求解.设D(x,y),由𝑪𝑫=(x-3,y)及|𝑪𝑫|=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又𝑶𝑨+𝑶𝑩+𝑶𝑫=(-1,0)+(0,𝟑)+(x,y)=(x-1,y+𝟑),∴|𝑶𝑨+𝑶𝑩+𝑶𝑪|=(𝒙-𝟏)𝟐+(𝐲+𝟑)𝟐.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-𝟑)间距离的最大值.∵圆心C(3,0)与点P(1,-𝟑)之间的距离为(𝟑-𝟏)𝟐+(𝟎+𝟑)𝟐=𝟕,故(𝒙-𝟏)𝟐+(𝐲+𝟑)𝟐的最大值为𝟕+1.【答案】𝟕+1热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,𝒚𝒙+𝟏的取值范围是.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f'(x)=1+cosx≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0移项得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即x2+y2-4x-2y+4≤0,热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)则(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.如图所示,𝒚𝒙+𝟏表示满足𝒚≥𝟏,(𝒙-𝟐)𝟐+