上海市徐汇区2012届高三4月学习能力诊断数学word(理)试题

2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2012.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知2111nnann，则nnalim.[来源:学.科.网]2、已知集合7|03xAxx，函数2lg(68)yxx的定义域为集合B，则AB=.3、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是.（精确到0.01）4、若函数)(xgy图像与函数)1()1(2xxy的图像关于直线xy对称，则(4)g＿＿＿.5、若biia11，其中ba,都是实数，i是虚数单位，则bia=.6、532)23(xx的二项展开式中，常数项的值是.7、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E=____________.（结果用最简分数表示）[来源:学科网ZXXK]8、已知数列na的前n项和21nnSa，则数列na的通项公式为na.*()nN9、函数()2sinsin()3fxxx的值域是.10、如图：底面直径为2的圆柱被与底面成030二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为.11、在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A、B两点，则AB=.成绩人数40115060221370809012、若函数yfx（xR）满足2fxfx，且1,1x时，21fxx，函数lg(1)110001xxgxxxx，则函数hxfxgx在区间5,6内的零点的个数为______.13、已知函数()1xfxx,在9行9列的矩阵999392912923222119131211aaaaaaaaaaaa中，第i行第j列的元素()ijiafj,则这个矩阵中所有数之和为_______________.14、如图，点(,)(0,0)Pxyxy是双曲线22221(0,0)xyabab上的动点，12,FF是双曲线的焦点，M是12FPF的平分线上一点，且20FMMP.某同学用以下方法研究OM：延长2FM交1PF于点N，可知2PNF为等腰三角形，且M为2FN的中点，得112OMNFa.类似地：点(,)(0,0)Pxyxy是椭圆22221(0)xyabab上的动点，12,FF是椭圆的焦点，M是12FPF的平分线上一点，且20FMMP，则OM的取值范围是.[来源:学科网]二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.PMyx1F2FOMNPyx2F1FO15、条件甲：函数)(xf满足()1()fxfx；条件乙：函数)(xf是偶函数，则甲是乙的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16、设(,1)(2,)(4,5)AaBbC、、为坐标平面上三点，O为坐标原点。若OAuur与OBuuur在OCuuur上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）（A）543ab（B）453ab（C）4514ab（D）5414ab17、如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程(,)0fxy的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）（A）曲线C是方程(,)0fxy的曲线；（B）方程(,)0fxy的每一组解对应的点都在曲线C上；（C）不满足方程(,)0fxy的点(,)xy不在曲线C上；（D）方程(,)0fxy是曲线C的方程.18、若框图所给的程序运行的结果为90S，那么判断框中应填入的关于k的判断条件错误．．的是（）（A）8k（B）8k（C）9k（D）9k三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.在ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc，且5,3,sin2sinabCA.（1）求c的值；（2）求sin(2)3A的值.[来源:学科网ZXXK]20、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图：在正方体1111ABCDABCD中，O是AC的中点，E是线段1DO上一点，且1DEEO.（1）求证：11DBCDO平面；（2）若平面CDE平面1CDO,求的值.[来源:学科网ZXXK]EOABCDA1B1C1D1第18题图21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为168022424xxyxxx。只有当河流中碱的浓度不低于．．．1时，才能对污染产生有效的抑制作用。（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.22、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点12,FF为双曲线222:1(0)yCxbb的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且01230MFF，圆O的方程为222xyb.（1）求双曲线C的方程；（2）过圆O上任意一点00(,)Qxy作切线l交双曲线C于,AB两个不同点，AB中点为M，求证：2ABOM；（3）过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P和2P，求21PPPP的值.23、（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.如果存在常数a使得数列na满足：若x是数列na中的一项，则ax也是数列na中的一项，称数列na为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,(4)mm是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷．．等差数列nb的项数是00(3)nn，所有项之和是B，求证：数列nb是“兑换数列”，并用0n和B表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列nc，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷理科试卷参考答案及评分标准（2012.4）一．填空题：1．12．3,43．17.644.15.56．10807．478．12n9．31,2210．23311．2312．913．81214．220,ab二．选择题：15．A16．B17．C18．D三．解答题:19．解：（1）由正弦定理sinsincaCA,得sin225sinCcaaA-------------------4分（2）由余弦定理，得22225cos25cbaAbc-------------------6分所以25sin1cos5AA-------------------7分故2243sin22sincos,cos2cossin55AAAAAA-------------------9分所以433sin(2)sin2coscos2sin33310AAA-------------------12分20．解：（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则1111(0,0,0),(1,1,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22DBOCD-------------------2分于是：1111(1,1,1),,(0,1,1),(,,0)22DBCDOC-------------------4分因为1110,0DBCDDBOC,所以111,DBCDDBOC------------5分故：11DBCDO平面-------------------6分zyxEOABCDA1B1C1D1（2）由（1）可知平面1CDO的法向量取1(1,1,1)mDB-----------------8分由1DEEO，则1(,,)2(1)2(1)1E-------------------10分又设平面CDE的法向量为(,,)nxyz由0,0nCDnDE得002(1)2(1)1yxyz，取2,x得z，即(2,0,)n-------------------12分因为平面CDE平面1CDO，所以0mn，得2-------------------14分21．解：（1）1651751781517222220202xxxxxx--------2分412324xxx-------------4分综上，得51732x-------------5分即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为517117322-----6分（2）当02x时，1682yxx单调递增-------------8分当24x时，4yx单调递减-------------9分所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即24x时，16164(2)814(2)(2)2yxxxxx------------------12分故当且仅当162,22xxx即时，y有最大值1482。-------------------14分22．解：（1）设2,FM的坐标分别为2200(1,0),(1,)(0)bbyy-------------------1分因为点M在双曲线C上，所以220211ybb，即20yb，所以22MFb------------2分在21RtMFF中，01230MFF，22MFb，所以212MFb------------3分由双曲线的定义可知：2122MFMFb故双曲线C的方程为：2212yx-------------------4分（2）①当切线l的斜率存在设1122(,),(,)AxyBxy，切线l的方程为：(2)ykxnk代入双曲线C中，化简得：222(2)2(2)0kxknxn所以22221222881611(2)nkABkxxkk-------------------6分因为直线l与圆O相切，所以221nk，代入上式，得22222142kABkk-----------7分设点M的坐标为(,)MMxy，则12222,222MMMxxknnxykxnkk所以2222222221()()4222knnkOMkkkk-------------------8分即2ABOM成立②当切线l的斜率不存在时，(2,2),(2,2)(2,2),(2,2)ABAB或此时22,2ABOM，即2ABOM成立-------------------10分（3）由条件可知：两条渐近线分别为12:20;:20lxylxy-------------------11分设双曲线C上的点00(,)Pxy，则点P到两条渐近线的距