【经典例题剖析】一次函数

第十一章一次函数复习课知识点1一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x等都是一次函数，y=21x，y=-x都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点3正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点4点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点6待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），由题意可知，,3,21bkbk解.35,34bk∴此函数的关系式为y=3534x．【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．②当k，b异号时，即-kb＞0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-kb﹤0时，直线与x轴负半轴相交．③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当k＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当k＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②2121bbkky1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③2121,bbkky1与y2平行；④2121,bbkky1与y2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x；（2）y=-x2；（3）y=-3-5x；（4）y=-5x2；（5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x2.[分析]本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数．例2当m为何值时，函数y=-（m-2）x32m+（m-4）是一次函数？[分析]某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数，∴,0)2(,132mm∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数．小结某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．[分析]（1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．(2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．解：（l）y=15+0．5x．（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．（3）y是x的一次函数．(学生做一做)乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是.老师评一评研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．例4某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．［分析］本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102例5已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．[分析]由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-3＝2k，∴k＝2．∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=21.学生做一做已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是.老师评一评由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k，∴k=2．∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．【注意】y与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m﹤OB．m＞0C．m﹤21D．m＞M[分析]本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2m﹤O,∴m＞21，故正确答案为D项．学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．老师评一评（1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y=15+2x．（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0，因此，函数y=15+2x的图象应为一条射线．画函数y=12+5x的图象如图11－21所示．（3）当x=5时，y＝15