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服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测课堂互动探究教师备课资源2．2.2反证法●三维目标1．知识与技能结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．2．过程与方法使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-23．情感、态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2●重点难点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题结论的否定；(2)根据所做出的否定，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件与已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-21．反证法的定义由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒…⇒t，t与矛盾，或与某个矛盾，从而判定，推出的方法，叫做反证法．假设真命题綈q为假q为真服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-22．反证法的证题步骤(1)分清命题的；(2)做出与相矛盾的假定；(3)由假定出发，应用正确的推理方法，推出；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于__________________不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．条件和结论命题结论矛盾的结果开始所做的假定服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【思路探究】本题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法、证题的关键是应注意分类讨论后，再找矛盾．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【自主解答】假设x0为方程f(x)＝0的负根，则有ax0＋x0－2x0＋1＝0，即ax0＝2－x0x0＋1＝3－（1＋x0）x0＋1＝－1＋3x0＋1，显然x0≠－1.1°当0x0－1时，1x0＋10，31＋x03，－1＋31＋x02.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2而1aax01，这是不可能的，即不存在0x0－1的解．2°当x0－1时，x0＋10，31＋x00，－1＋31＋x0－1.而ax00，矛盾，即不存在x0－1的解．综上所述方程f(x)＝0没有负数根．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-21．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-22．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2已知非零实数a、b、c成等差数列a≠c，求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a，1b，1c成等差数列，则2b＝1a＋1c＝a＋cac，又a、b、c成等差数列，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2∴2b＝a＋c，∴b＝a＋c2，∴4a＋c＝a＋cac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.这与a≠c矛盾．故假设错误，原命题正确.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．【自主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．【证明】∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【思路探究】明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.【自主解答】假设1＋xy，1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2矛盾．∴1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2常见结论词与反设词列表如下：原结论词等于(＝)大于(＞)小于(＜)对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个反设词不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2在本例中，若x，y0且x＋y＝2，求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个不小于2.【证明】假设1＋xy，1＋yx都小于2.则1＋x2y，1＋y2x，那么2＋x＋y2x＋2y，∴x＋y2与已知x＋y＝2矛盾．所以假设不成立，原命题成立．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2利用反证法证题时，假设错误而致误已知x，y∈R，且x2＋y2＝0，求证：x，y全为零．【错解】假设结论不成立，则x，y全不为零，即x≠0且y≠0，∴x2＋y20与x2＋y2＝0矛盾，故x，y全为零．【错因分析】导致错误的原因是否定结论不全面而出现错误，事实上x，y全为零的否定是x，y不全为零．类似的否定还有“都是”的否定为“不都是”而不是“都不是”，“一定”的否定是“不一定”而不是“一定不”．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【防范措施】用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【正解】假设x，y不全为零，则有以下三种情况：(1)x＝0，y≠0，∴x2＋y20与x2＋y2＝0矛盾；(2)x≠0，y＝0，∴x2＋y20与x2＋y2＝0矛盾；(3)x≠0，y≠0，∴x2＋y20与x2＋y2＝0矛盾．综上可知假设错误，故x，y全为零．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-21．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【解析】由反证法的定义可知应选C.【答案】C服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-22．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【解析】三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．【答案】B服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-23．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．【解析】“p且q”形式的否定为“綈p或綈q”．【答案】x＝a或x＝b服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-24．证明方程2x＝3有且仅有一个实根．【证明】∵2x＝3，∴x＝32，∴方程2x＝3至少有一个实根．设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，则2x1＝3，①2x2＝3，②由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，这与x1≠x2矛盾．故假设不正确，从而方程2x＝3有且仅有一个实根．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2课后知能检测点击图标进入…服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2【思路探究】第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式，应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋12n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设任三项bp、bq、br成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】(1)设公差为d，由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修1-2(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.服