【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第10章第7节随机变量及其分布均值与方差课件理苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第七节随机变量及其分布列、均值与方差考纲传真要求内容ABC离散型随机变量及其分布列√超几何分布√离散型随机变量的均值与方差√1．随机变量X的概率分布列(1)随机变量X的概率分布列．一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的．①也可表示为Xx1x2…xnPp1p2…pn概率分布列(2)随机变量分布列的性质．①pi≥0，i＝1,2，…，n；②＝1.p1＋p2＋…＋pn2．两点分布若随机变量X服从两点分布，则其概率分布表为X01P1－pp3.超几何分布若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN记为H(r；n，M，N)．CrMCn－rN－MCnN4．离散型随机变量X的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝μ＝为离散型随机变量X的均值或数学期望．(2)方差：称V(X)＝σ2＝为离散型随机变量X的方差．(3)标准差：随机变量X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝VX.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn5．两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差(1)若X～0－1分布，则E(X)＝p，V(X)＝．(2)若X～H(n，M，N)，则E(X)＝，V(X)＝nMN－MN－nN2N－1.(3)若X～B(n，p)，则E(X)＝，V(X)＝．p(1－p)nMNnpnp(1－p)1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离于均值的平均程度越小．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p＝________.[解析]由D(X)＝8p(1－p)＝1.28，∴p＝0.2或p＝0.8.[答案]0.2或0.83．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是________(用式子表示)．[解析]X服从超几何分布，P(X＝2)＝C220C310C530.[答案]C220C310C5304．(2014·浙江高考改编)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则下列说法正确的是________．①p1p2，E(ξ1)E(ξ2)；②p1p2，E(ξ1)E(ξ2)；③p1p2，E(ξ1)E(ξ2)；④p1p2，E(ξ1)E(ξ2)．[解析]随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112Pnm＋nmm＋nξ2123PC2nC2m＋nC1mC1nC2m＋nC2mC2m＋n所以E(ξ1)＝nm＋n＋2mm＋n＝2m＋nm＋n，E(ξ2)＝C2nC2m＋n＋2C1mC1nC2m＋n＋3C2mC2m＋n＝3m＋nm＋n，所以E(ξ1)E(ξ2)．因为p1＝mm＋n＋nm＋n·12＝2m＋n2m＋n，p2＝C2mC2m＋n＋C1mC1nC2m＋n·23＋C2nC2m＋n·13＝3m＋n3m＋n，p1－p2＝n6m＋n0，所以p1p2.[答案]①5．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.[解析]∵X～B3，14，∴D(X)＝3×14×34＝916.[答案]916考向1离散型随机变量分布列的性质【典例1】(2014·陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．[解](1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本．∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512，3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.【规律方法】1．利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．2．若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．【变式训练1】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求随机变量η＝|X－1|的分布列．[解]由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.列表X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.因此η＝|X－1|的分布列为：η0123P0.10.30.30.3考向2离散型随机变量的分布列(高频考点)命题视角从近两年高考命题看，分布列多与随机变量的期望、方差结合命题，主要以解答题形式呈现，中等难度，主要命题角度：(1)求随机变量的分布列；(2)利用分布列求相关参数值或概率；(3)由分布列求数学期望与方差．【典例2】(2014·重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)[思路点拨]对于(1)，根据题意恰当地利用组合数进行计数，再结合古典概型的意义进行相关计算即可；对于(2)，结合题意，先明确变量所有的可能取值，再结合题意逐一求得取各值相应的概率，由此确定其分布列，进而结合数学期望的定义求得相应的期望值．[解](1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.【通关锦囊】1．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取值对应的概率，要重视两个计数原理、古典概型知识的活用．2．求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．【变式训练2】(2014·江苏高考)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P.(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数．求X的概率分布和数学期望E(X)．[解](1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.考向3超几何分布【典例3】(2014·江南三校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A.则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ck3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.因此ξ的分布列为ξ0123P72421407401120【规律方法】1．求解本题的关键在于：(1)从统计图表中准确提取信息；(2)明确随机变量ξ服从超几何分布．2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．其特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)