【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第9节函数模型及其应用课件理苏教版.

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第九节函数模型及其应用考纲传真要求内容ABC函数模型及其应用√1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当x＞x0时，有单调递增单调递增单调递增logax＜xn＜ax3.“f(x)＝x＋ax”型函数模型形如f(x)＝x＋ax(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线更快．()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2函数值大．()(3)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．[解析](1)递增幂函数x越大函数变化越快，但x较小时不成立．(1)错误(2)当x＝1时不成立．(2)错误(3)售价为125，九折后售价为112.5元，而进价为100元，可以获利．(3)正确(4)由函数图象可知(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2%，则y关于x的函数关系式是________．[解析]本题属于简单的指数模型问题，y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．[答案]y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________副．[解析]10x－(5x＋4000)≥0解得x≥800.[答案]8004．(2014·福建高考)要制作一个容器容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[解析]设该长方体容器的长为xm，则宽为4xm．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2x＋4x×10，即y＝80＋20x＋4x(x＞0)．因为x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝4x，即x＝2时取“＝”)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．[答案]1605．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝cx，xA，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时3min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是________．[解析]cA＝15，∴A4，从而有c2＝30，得c＝60，A＝16.[答案]6016考向1分式形式的函数模型【典例1】(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．[解析](1)当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v·121v＋18＝7600022＋18＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤760002v·100v＋18＝7600020＋18＝2000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．[答案](1)1900(2)100【规律方法】1．本题关键是把分子变为常数，利用基本不等式求最值．2．凡是分式中分子和分母都含有变量的，一般是把分子化为常数，只让分母含有变量，再利用基本不等式或其他方法求出最值．【变式训练1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损失，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出此最小值．[解](1)设隔热层厚度为xcm.由题设知C(0)＝8，即k5＝8，得k＝40.因此C(x)＝403x＋5.而隔热层建造费用为C1(x)＝6x，所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝8003x＋5＋2(3x＋5)－10≥28003x＋5·23x＋5－10＝70，当且仅当8003x＋5＝2(3x＋5)，即x＝5时取等号．故x＝5时，f(x)取得最小值70.即当隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小值70万元．考向2分段函数模型【典例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解](1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13200－x，20x≤200.(2)依题意及(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200－x，20x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)取得最大值，其最大值为60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋200－x22＝100003，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．【规律方法】1．理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)是求解本题的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．3．分段函数的主要特征是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．4．构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．【变式训练2】(2014·涟水中学月考)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产1千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－x2300x≤10，108x－10003x2x10.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[解](1)当0x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－x330－10，当x10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－10003x－2.7x，∴W＝8.1x－x330－100x≤10，98－10003x－2.7xx10.(2)①当0x≤10时，由W′＝8.1－x210＝0，得x＝9.又当x∈(9,10)时，W′0，当x∈(0,9)时，W′0，∴当x＝9时，Wmax＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x10时W＝98－10003x－2.7x＝98－10003x＋2.7x≤98－210003x×2.7x＝38，当且仅当10003x＝2.7x时，即x＝1009时，W＝38.由①②可知，当x＝9千件时，W取最大值38.6万元．考向3一次、二次函数模型(高频考点)命题视角一次、二次函数模型的应用是高考考查的重点，常与导数，基本不等式，函数单调性，最值等交汇命题．主要命题角度是利用一次、二次函数模型求最值(最优)问题．【典例3】(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图2­9­1记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为____．图2­9­1【思路点拨】已经给出函数关系，且给出了满足关系的点坐标，代入函数求出a，b，c.由二次函数性质求出t.[解析]将(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)代入p＝at2＋bt＋c中，得9a＋3b＋c＝0.7，16a＋4b＋c＝0.8，25a＋5b＋c＝0.5，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，∴p＝－0.2t2＋1.5t－2，∴当t＝－1.52×－0.2＝3.75(min)时p最大．[答案]3.75分钟【通关锦囊】1．求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．2．把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．【变式训练3】(2013·上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是1005x＋1－3x元．(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a·5＋1x－3x2元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．[解](1)证明：生产a千克该产品所用的时间是ax小时，∵