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第1课时抽样方法1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．3．了解分层抽样和系统抽样方法．1．抽样调查及相关概念通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．2．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．3．分层抽样(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．4．系统抽样(1)系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔抽取其他样本．系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．(2)系统抽样的步骤①先将总体的N个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．[基础自测]1．(教材改编题)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33个，34人，33人B．25人，56人，19人C．30人，40人，30人D．30人，50人，20人解析：因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为：25人，56人，19人．答案：B2．(2016·抚顺质检)为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A．总体是240B．个体是每一个学生C．样本是40名学生D．样本容量是40解析：总体容量是240，总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40.答案：D3．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是解析：因为所抽取学生的学号成等差数列，即为等距离抽样，属于系统抽样．答案：C4．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的个数为________．解析：抽取男运动员的人数为2148＋36×48＝12.答案：125．若总体中含有1650个个体，现在要采用系统抽样法，从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除________个个体，编号后应均分为________段，每段有________个个体．解析：计算1650除以35的余数，可知商为47，余数为5，所以采用系统抽样首先要从总体中随机剔除5个个体，由于抽取的样本容量为35，所以编号后应均分为35段，每段有47个个体．答案：53547考点一简单随机抽样[例1]某大学为了支持亚运会，从报名的24名大三学生中选6人组成志愿小组，请用抽签法和随机数法设计抽样方案．审题视点考虑到总体的个数较少，利用抽签法和随机数法可容易地获取样本，须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”，随机数法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．解抽签法：第一步：将24名志愿者编号，编号为1,2,3，…，24；第二步：将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将24个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．随机数法：第一步：将24名学生编号，编号为01,02,03，…，24；第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向选取两列组成两位数；第三步：凡不在01～24中的数或重复出现的数，都不能选取，依次选取即可得到6个样本的编号；第四步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．1．(2016·昆明调研)下列说法中正确说法的个数是()①总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抓奖活动是抽签法；④整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)．A．1B．2C．3D．4解析：①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样；④不正确．答案：C2．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？解：法一：抽签法：将100件轴编号为1,2，…，100，并制成大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．法二：随机数法：将100件轴编号为00,01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如从第21行第1个数开始，选取10个，为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，这10件即为所要抽取的样本．考点二系统抽样[例2]某单位在职职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本．审题视点由题意应抽取62人，624不是10的整数倍，需先剔除4人，再利用系统抽样完成抽样．解第一步：将624名职工用随机方式进行编号；第二步：从总体中用随机数法剔除4人，将剩下的620名职工重新编号(分别为000,001,002，…，619)，并分成62段；第三步：在第1段000,001,002，…009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码为l；第四步：将编号为l，l＋10，l＋20，…，l＋610的个体抽出，组成样本．(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．1．(2015·高考湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A．3B．4C．5D．6解析：因为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．答案：B2．某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1470编号，若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为()A．15B．16C．17D．18解析：由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17.答案：C考点三分层抽样[例3]某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．审题视点先求出样本抽取的比例，再逐个求解解析应从小学中抽取150150＋75＋25×30＝18(所)．应从中学中抽取75150＋75＋25×30＝9(所)．答案189分层抽样的操作步骤及特点(1)操作步骤①将总体按一定标准进行分层；②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；③在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．(2)特点①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；②更充分地反映了总体的情况；③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN.1．(2015·高考北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B．100C．180D．300解析：设该样本中的老年教师人数为x，由题意得x900＝3201600，故x＝180.答案：C2．(2015·高考福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：男生人数为900－400＝500(人)，设男生应抽取x人，则有45900＝x500，解得x＝25.答案：25分层抽样的易错点[典例]某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解题指南由男生和女生的总人数和样本容量可得分层抽样的比例，进而可得男生的入样人数．解析男生人数为560×280560＋420＝160.答案160阅卷点评(1)不能正确确定抽样比例从而导致失误．(2)在求解过程中计算失误．备考建议解决随机抽样问题时，还有以下几点容易造成失误，在备考时要高度关注：(1)熟练掌握各种抽样方法的步骤和适用条件；(2)系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数；(3)分层抽样中各层所占的比例要确定准确．另外，某些情况下还需先剔除若干个体，注意剔除个体的等可能性．◆一条规律三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是nN.◆三个特点(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．课时规范训练[A级基础演练]1．(2015·高考四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．答案：C2．(2016·浙江杭州模拟)某校150名教职员工中，有老年人20名，中年人50名，