一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)

一个带约束条件的二元函数最值的求法江苏省东海县白塔高级中学陈大连邮编222345电话[phone]近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题——求带约束条件的二元函数最大值或最小值，这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性.问题（2015届江苏省宿迁市高三一模第9题）已知实数,xy满足221xxyy，则xy的最大值为.解法1令xyt，则ytx，将其代入条件得，22()()1xxtxtx，整理，得223310xtxt.令22(3)43(1)0tt，解得22t.当222,1xyxxyy即1xy时右边的等号成立，所以t=xy的最大值为2.注此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值，其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在.需要提醒的是在得到22t时要注意检查等号成立的条件.解法2由221xxyy配方，得2()31xyxy，再由基本不等式，得22()1313()2xyxyxy，即22()13()2xyxy，解得2()4xy，即22xy，从而2xy.当1xy时等号成立，所以xy的最大值为2.注由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式xy的不等式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路.解法3由221xxyy配方，得223()124yxy.令3cos,sin22yxy，则33sin2y，3()3sincos22yxy，即3sincosxy2sin()26.易见当3时等号成立，所以所求的最大值为2.注由于221xxyy的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件.解法4由解法3知等式条件可配方为223()124yxy.令3,22yxsyt，则条件化为221st，目标函数3xyst.由线性规划知识，当动直线3stP与圆221st相切时P最大或最小，此时圆心到直线的距离2211(3)P，解得2P，其中2是最大值，即xy的最大值为2.注此解法通过换元将问题化为线性规划问题，借助约束条件与目标函数的几何意义求解，直观明了.解法5当0x时21,1,1yyxy.当0x时，Q221xxyy，22222222()2()xyxxyyxyxxyyxxyy222222212()12(1)3311111()yyttttttxxyyttttttxx，其中ytx.易求2311ttt的最大值为4（只需考虑0t情形），即2()4xy，从而2xy.综合，得所求的最大值为2.注上解法运用齐次化方法，将目标函数化为一元分式函数，之所以能这样做，是因为约束条件左边是齐次式（二次），而目标函数也是齐次式（一次），根据次数关系再将目标函数平方为2()xy求其最大值.一般地，如果约束条件与目标函数均为齐次式，可考虑这种方法.解法6令,,xysxyt则,2,2stxsty代入221xxyy，得22()()12222stststst，化简，得223144st，它表示椭圆，显然s的取值范围是[2,2]，而s就是xy，所以xy的最大值为2.注由于条件中含有xy项，且2x项与2y项的系数相等，若我们作线性代换,,xysxyt则可以化去变元的混合乘积项，使等式条件只含有变元的平方项，这样我们就能看清等式条件所表示的图形特征，以便于从几何角度求解.解法7令xyp，,22ppxtyt，则22()()()()12222pppptttt，化简，得22314pt，所以214p，从而24p，22p，可见xy的最大值为2.注上解法用的是平均代换，通常当条件为两变元的和等于一常数，会考虑这种方法.以上各解法能紧扣问题特点，都比较简捷，而下面的解法虽对此题不够简捷，却值得注意.解法8当,xy中有一个为0时，由对称性，不妨0x，则1y，此时1xy.当,xy同号时，因求的是xy的最大值，只须考虑0,0xy情形.此时令xy，22cos,sinxy，其中0.代入条件，得24222coscossin24sin1，从而242242222211coscossinsin(cossin)3cossin2114331sin2144.当,xy异号时，由对称性，不妨0,0xy，此时令xy，21cosx，2tany，0，代入条件，得22224421tantan1coscos，从而2244211tantancoscos424cos1sinsin1.综合三种情况，得2，即2xy，其中等号可取到，所以xy的最大值为2.注若目标函数为22xy，则易想到三角换元cos,sinxy，但若目标函数为xy且,0xy，也可考虑三角换元22cos,sinxy.若目标函数为22xy，可考虑三角换元1,tancosxy，但若目标函数为(,0)xyxy，则也可考虑令221,sincosxy.解法9由221xxyy得2432xxy，所以2314322xyxx231(3)4322xx.由柯西不等式的二元形式2222axbyabxy，得231(3)4322xx2222231()()(3)(43)222xx.当231:()(3):4322xx，即1x时等号成立，所以xy的最大值为2.注上解法用的是消元法，此解法看似平淡无奇，但使用的范围也较广，只要能依据等式条件将一个变元用另一个变元的代数式表示，都可考虑这一方法.另，使用柯西不等式的这一步也可改为运用向量求解：令231(,()),(3,43)22abxxrr，据ababrrrr，同样可得231(3)4322xx2222231()()(3)(43)22xx.解法10设为待定的正常数，则2222()()xxyyxyxyxyy222222222()333()()()(2)242424244yyyyxyyxyyxyy2222233()()2444yxy.当,2yyx即xy时等号成立，此时221，解得1，从而有222()11xxyyxy，即1()1xy，即2xy，且等号能成立，所以xy的最大值为2.注此解法先引入待定的系数，然后依次对,xy进行配方，当得到两个式子的平方和后便根据其非负性将构建的式子放缩，最后利用等号成立的条件及函数的约束条件确定待定系数的值，其中配方的方法我们称之为主元配方法或拉格朗日配方法.这种解法是处理带等式（二元二次整式）约束条件的二元整式函数最值问题的较一般的方法.如果我们在解此类题问题时一时没有找到简单的方法，不妨试用这一方法.以上10种解法思路各不相同，是解决带等式约束条件二元函数最值问题的常用方法，希抓住问题特点灵活运用.本题还有其它解法，读者可继续探究.为帮助读者进一步熟悉此类问题的解法，下面备几道练习题供参考使用：1．已知正实数,xy满足223xyxy，求xy的最小值.2．已知实数,xy满足223xyxy，求224xy的最小值.3．已知实数,xy满足22231xxyy，求22xy的最小值.4．已知实数,xy满足2214xy，则232xxy的最小值是．5．若实数,xy满足22224444xxyyxy，则2xy的最大值为.6．已知正实数,xy满足24310xyxy，则xy的取值范围为.7．已知2(2)522=(+)(1-),0xyyyx,y，则2+xy的最大值为.8．已知实数,xy满足331xy，0,0xy，求22()()xyxy的取值范围.练习答案：1.3222；2.2；3．154；4.642；5.22；6.8[1,]3；7.322；8．4(1,)3.练习解答（仅提供一种）：1．由223xyxy得3221xyx，所以321242121xxxyxxxx4121xx143(21)2212xx14332(21)2222122xx，且等号能成立.所以xy的最小值是3222.2.由基本不等式得2222(2)2,22[(2)2xyxyxyxy，所以322xyxy2222(2)2[(2)2xyxy，解得22(2)2xy，即2242xy，当2xy且223xyxy即1,12xy等号成立，所以224xy的最小值为2.3．令cos,sinxryr，则222xyr，条件化为22222cos2cossin3sin1rrr，由此得2221cos2cossin3sinr=111cos21cos22cos2sin21sin2322115cos(2)151514，其中等号能显然成立.4．令1,tan2cosxy，则2cosx，2222344tan124sin32coscoscoscosxxy22124sin4(3sin)44881sin(9sin)8(3sin)6(3sin)3sin3sin486[(3sin)]3sin44642864262(3sin)3sin，当83sin3sin即sin322时等号成立.5．配方，得222(2)4848xyxyxy，22(2)4(1)8xyxy，所以2(2)8xy，所以222xy，当1xy且20xy、22224444xxyyxy即12,2xy时等号成立，故2xy的最大值为22.6．令xyt，则tyx，代入条件，得24310txxxxt，整理，得24(1)10(23)0xxtt.其判别式41004(1)(23)0tt，解得813t.当1xy时1t；当42,3xy时83t.故xy的取值范围为8[1,]3.7．对条件配方，得22(2)4(1)9xyy.令2,2(1)xysyt，则有1,2122tty=xs，22+xyst，问题化为在2292=()stt条件下求2p=st的最大值.由线性规划知识知，在坐标系sot中当动直线2p=st与圆弧2292=()stt切于点3232,)22(时p最大，最大值为322.8．331xyQ，222223322()()()()()()()()xyxyxyxyxyxyxyxyxxyy22222xxyyxxyy221xyxxyy21()1xyxxyy2111111ttttt