不确定培训教案

一、基础知识1、随机变量按取值特征，分离散型随机变量和连续型随机变量两种。1.1、连续型随机变量定义（了解）随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f(x)，使对任何实数x，有F(X)=xdxxf)(，则称X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度函数。概率密度具有两个特征：（1）、f(x)≥0非负性；（2）、∫f(x)dx=1归一性。满足此两项，即可作为某随机变量的密度函数。1.2、常用连续型随机变量的分布（1）、均匀分布（矩形分布）a、定义：随机变量X的概率密度函数为f(x)=其它0)(,1babxaab，称X为服从参数为a、b的均匀分布。b、分布图：见右图。x＞b或x＜a概率为0，[a、b]概率为1，[c、d]概率与长成正比。c、常见服从均匀分布的有：舍人不确定度、数字示值的分辨力等。在缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为服从均匀分布。（2）、正态分布（高斯分布）a、定义：如果随机变量X的概率密度函数为f(x)=xex,21222)(，其中μ、σ为常数（σ＞0），称X为服从参数为μ、σ的正态分布，记为x~N（μ、σ2）。当μ=0、σ=1时，f(x)=2221xe，称标准正态分布，记为x~N（0、12）。b、分布图：见下页c、特点：①、图形以x=μ为对称轴，x=μ处有最大值21，称μ为位置参数。②、因曲线与x轴所围成面积为1，当μ不变，改变σ，则σ越小，峰值越高，反之越平坦。σ可表征取值集中程度，称为精度参数。③x=μ±处曲线有拐点。d、重要值：①、当x~N（0、12）时，F(X)=dxexx2221，查标准正态分布可得：F(1)-F(-1)=0.6826F(2)-F(-2)=0.9544F(3)-F(-3)=0.9973可见x几乎不在3σ外取值，σ越小，取值越集中。②、（了解）当x~N（μ、σ2）时，对任何a＜b，有：P[axb]=dxexba222)(21，采用换元积分法，变为标准正态分布。取ux，dxdu1，dudx，则：P[axb]=)()(2122aFbFdueuba将a、b值带人，查标准正态分布表即可。2、随机变量的数字特征2.1、数学期望a、定义：（连续型）设连续型随机变量x的概率密度函数为f(x)，若积分dxxxf)(绝对收敛，称积分dxxxf)(为随机变量的数学期望或均值。即E（x)=dxxxf)(。b、常用随机变量的数学期望均匀分布：221211222baababxabdxabxxbaba正态分布：E（x）=μ2.2、方差a、定义：设x是随机变量，若E[x-E（x）]2存在，称E[x-E（x）]2为x的方差，记为D（x）。方差的大小反映x的离散程度。D（x）大x则分散，小则集中。对于连续型随机变量：D（x）=dxxfxEx)()]([2数学期望表示被测量的大小，方差用来表示测量品质的高低。c、常见随机变量方差均匀分布：D（x）=2)(121ab；正态分布：D（x）=σ例：被测量x落在区间[a、-a]服从均匀分被，求数学期望、方差及标准差。解：①、E（x）=aaaaaaxdxadxaaxdxxxf021)(1)(②、按定义计算：D（x）=aaaaaadxxadxxfxdxxfxx22221)()()(=33221321233aaaxaaa按公式计算：D（x）=34121)(121222aaab③、标准差为：σ（x）=D（x）=3a★置信因子（包含因子）以k表示，当分布不同时，k值也不同。对正态分布：k、p对应值查表对均匀分布：k=3对三角分布：k=6对反正弦分布：k=23、基本术语及概念3.1、测量误差（定义略）误差与测量不确定度主要区别：序号测量误差测量不确定度1有正负号的量无符号的参数，用标准差或标准差的倍数或置信区间的半宽表示2表明测量结果偏离真值表明被测量的分散性3客观存在，不以人的认识程度而改变与人们对被测量、影响量及测量过程的认识有关4不能准确得到，用约定真值代替可由信息进行评定，从而定量确定5按性质分为随机误差和系统误差一般不必区分其性质，若需要区分时应表述为“由随机效应引入的不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”6可以对测量结果进行修正不能用不确定度对结果进行修正3.2、实验标准[偏]差对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s,按下式计算：niiixxnxs12)(11)(，即贝塞尔公式，用于计算单次测量标准差。nxsxsi)()(称为平均值的实验标准差。在不确定的评定中，以x作为测量结果的最佳估计，以)(xs作为由重复性引入的A类标准不确定度。3.3、包含因子为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的大于1的数。包含因子一般以k表示。置信概率为p时的包含因子用kp表示。3.4、置信概率与置信区间或统计包含区间有关的概率值，符号为p，p=（1-α），α为显著性水平。当测量值服从某分布时，落于某区间的概率p即为置信概率。3.5、相关系数两个变量之间相互依赖的程度。它等于两变量之间协方差除以各自方差之积的正平方根，r(x、y)=)()(),(yDxDyxu。相关系数取值范围是（-1,1），当r=1时，表示两个变量完全正相关，当r=0时，表示两变量无关，当r=-1时，表示两个变量完全负相关。在标准不确定度合成时，应考虑分量间的相关性。★协方差：对二维随机变量（x、y），若E[x-E(x)][y-E(y)]存在，称之为x与y的协方差，记为u(x、y)。协方差计算较困难，常先估算相关系数，再求协方差。3.6、自由度在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。想得到某被测量的值，至少应测量一次，多次的测量可根据需要自由选择。自由度越大，不确定度的可靠程度越高，可见自由度是不确定度的不确定度；自由度反映不确定度评定的可靠程度或评定质量。二、测量不确定度的评定及表示1、数学模型的建立被测量Y由n个其他量X1、X2、…XN通过函数关系f来确定。Y=f（x1、x2、…xn）xi的不确定度是Y的不确定度来源，可以是当前直接测量的量，也可以是外部来源引入的量。可从人、机、料、法、环、抽、溯、样全面考虑，做到不重复、不遗漏。抽——取样的代表性限制；溯——参考标准量值校准质量水平；样——被测件特性，如重复性、稳定性、几何形状。评定方法归纳为A、B两类，后详述。测量模型的建立的通用公式：∵误差=测量结果-真值又∵误差=系统误差+随机误差∴真值=测量结果-误差=测量结果-系统误差-随机误差=测量结果+系统误差的修正值+随机误差的修正值∴被测量之值=测量结果+系统误差的修正值+随机误差的修正值2、不确定度传播律u2(y)=[1xf]2u2(x1)+[2xf]2u2(x2)+…+[Nxf]2)(2Nxu2111),(]][[NiNijjijixxuxfxf。称该式为不确定度传播律。其中，ixf称灵敏度系数，u(xi)为输入量xi的标准不确定度，),(jixxu为任意两个输入量的协方差函数。3、测量不确定度分类评定y的不确定度取决于xi的不确定度，故首先应评定xi的标准不确定度。按评定方法分为A、B两类。两类只是评定方法不同，本质是相同的。A类评定基于概率分布，B类评定基于经验和有用信息，都用方差和标准差表示。3.1、标准不确定度的A类评定（1）、基本方法：贝塞尔法被测量在重复性条件下进行n次独立测量，niixnx11，单次测量实验标准差，由贝塞尔公式得：niiixxnxs12)(11)(，平均值的实验标准差为nxsxsi)()(，通常以x作为被测量的估计，以)(xs作为测量结果标准不确定度，即A类标准不确定度。n充分多时，才能使A类评定可靠，一般n应大于5。（2）、极差法：在重复性条件下，对Xi进行n次独立测量，计算结果最大值与最小值之差R称为极差。在Xi可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果Xi实验标准差s(xi)可按下式近似评定：s(xi)=R/C=u(xi)。C值查表可得。一般在测量次数较小时采用极差法，以4~9为宜。例：测洛氏硬度5次：60.0；60.8；61.0；61.8；62.0。H=61.1，用贝塞尔公式算得平均值实验标准差为：)1()()(512nnHHHuii=0.36HRC，自由度ν=n-1=4。用极差法计算，则：33.20.600.62511)(minmaxcHHnHu=0.38HRC自由度ν=3.6（查表可知，n=5时，C=2.33，v=3.6）极差法与贝塞尔法相比，不确定度的自由度降低了，即不确定度可靠性降低。（3）、最小二乘法（规范原文）当输入量Xi的估计值xi是由实验数据用最小二乘法拟合的曲线上得到时，曲线上任何一点和表征曲线拟合参数的标准不确定度，可用有关的统计程序评定。3.2、标准不确定度的B类评定（1）、B类评定的信息来源：以前的观测数据；有关技术资料和仪器特性的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件；证书提供的数据或准确度等级、极限误差等；手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定试验方法的国家标准或类似的技术文件中给出的重复性限等。（2）、B类评定方法(以常用3种情况为例)a、已知xi分散区间半宽为a，且xi落于xi-a至xi+a的概率为100%。通过对其分布的估计，可得标准不确定度u(xi)=ka。k与分布状态有关，见下表。在缺乏任何信息时，一般估计为矩型分布，如果已知xi可能值出现在a-至a+中心的概率大于接近边界时，按三角分布。如果xi本身就是重复性条件下算术平均值，按正态分布。分布P%ku(xi)b、已知扩展不确定度U和包含因子k，则标准不确定度u(xi)=kU。如证书给出1kg砝码质量m=1000.00032g，并说明k=3，U=0.24mg,则该砝码的标准不确定度um=mg324.0=80μgc、已知扩展不确定度Up和置信概率p，按正态分布考虑平定u(xi)=ppkU，正态分布置信概率p与包含因子kp之间关系见下表：P%5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763★B类评定除了要设定其概率分布，还要设定评定的可靠程度（自由度），这主要靠经验和对有关知识的深刻了解，靠实践积累。举例说明如下：①、当不确定度的评定有严格的数字关系，如数据修约引起的不确定度，自由度为∞。②、当不确定度的带有主观判断因素，如仪表读数误差引起的不确定度，取较低的自由度。假定其可靠性为75%，则不可靠性为25%，按1059-99中式17，自由度为ν=8%)25(1212。★新规范弱化了对给出自由度的要求，指出以下两种情况时才需要计算合成标准不确定的有效自由度νeffa）当需要评定Up时为求得kp而必须计算uc(y)的有效自由度νeff，b）当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度而提出要求时。4、合成标准不确定度的评定估计值y的合成标准不确定度uc(y)由相应输入量x1、x2、…xn的标准不确定度合成求得。4.1、输入量不相关时不确定度的合成当全部输入量彼此独立或不相关时，由下式计算：u2(y)=221)()(iniixuxf4.2、输入量相关时不确定度的合成a）输入量相关时，测量结果的合成标准不确定度u2(y)按下式计算：u2(y)=221)()(iniixuxf+2111),(]][[NiNijjijixxuxfxfu(xi、xj)的相关程度可由估计的相关系数求得：)()(),(),(jijijixuxuxxuxxrb）相关系数的求法：①、统计法：22)()())((),(yyxxyyxxyxriiii正态99.7333a三角10066a均匀10033a反正弦10022a②、物理判断法（实验判断