不等式不等式的应用

不等式·不等式的应用（1）——方程根的讨论·教案教学目标1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论．2．借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想．3．能将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想．教学重点与难点重点：借助二次函数的图象将一元二次方程实根分布的条件等价转化为由方程或不等式组成的条件组．难点：寻求实根分布条件的等价转化．教学过程设计（一）引入新课师：前阶段我们研究了不等式的性质，不等式的解法以及不等式的证明．现在我们一起研究不等式在方程根的讨论问题上的应用．（板书：不等式的应用——方程根的讨论）师：请同学们思考此题的解法．（出示小黑板或投影幻灯片）练习：实数m取何值时，方程x2＋2mx+2m2－3=0①有：（1）两个正根？（2）一个正根，一个负根？（教师巡视后，发现学生中的不同解法，肯定正确方法，纠正偏差）师：由于一元二次方程，一元二次不等式与二次函数三者有着密切的联系，是否可以考虑应用二次函数的图象与性质？（二）讨论生：一元二次方程的实根是相应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，讨论一元二次方程实根的分布问题可转化为讨论二次函数的图象与x轴的交点的位置问题．师：不妨设y=f（x）=x2+2mx＋2m2-3，这是二次函数，其图象是开口向上的抛物线（如图5-6），若方程①有两个正根，即抛物线y=f（x）与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，其充要条件是什么？生：首先判别式Δ≥0，这样可以保证抛物线与x轴有两个交点，或与x轴相切．师：满足Δ≥0的条件，如图5-7抛物线与x轴的两个交点，一个在x轴正半轴上，而另一个在x轴负轴上．可这两个交点应都在x轴正半轴上．生：图5-6与图5-7比较发现，抛物线与y轴的交点应在正半轴上，即在y轴上的截距大于0．师：如何计算抛物线在y轴上的截距？生：抛物线在y轴上的截距为f（0），因此f（0）＞0．如图5-8．师：比较图5-6与图5-8，寻找其差别之处，还应添加什么条件？生：两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同，图5-6所示抛物线的对称轴在y轴右侧，而图5-8所示抛物线的对称轴在y轴左侧，因此在条件中应添加对称轴x=-m＞0的条件．师：这样我们就得到了抛物线y=f（x）＝x2＋2mx＋2m2-3与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，即方程x2＋2mx＋2m2-3=0，有两个正根的充要条件是：正根师：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线与x轴的交点位置又如何？其所对等价条件应考虑几方面？生：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线y=f（x）与x轴有两个交点，分别位于原点的两侧．如图5-9首先应考虑判别式Δ＞0，还需考虑抛物线在y轴上的截距小于0，即f（0）＜0．（板书）师：因此，抛物线y=f（x）=x2＋2mx＋2m2-3．与x轴有两个交点，且分别位于原点两侧，即方程x2＋2mx＋2m2-3=0，有一个正根，一个负根的充要条件是：f（0）＞0，即2m2-3＜0．解得：师（小结）：关于一元二次方程的实根分布问题通常有三种不同的处理方法：（1）应用求根公式法；（2）应用根与系数的关系（韦达定理）；（3）应用二次函数的图象与性质．（三）巩固（板书）例1m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？（在学生充分思考的前提下，发现错误，在及时分析、纠正错误的同时，使学生分析解决问题的能力得以提高）师：同学中有这样一种作法：解：设方程的两根为x1，x2．（板书）正确解法1：（应用韦达定理）所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．所以原方程的两个根一个大于2，另一个小于2的充要条件是：（x1-2）（x2-2）＜0．解得：m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．解法2：（应用二次函数）设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图5-16，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实很大于2，另一个实根小于2．（板书）例2已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．师：利用求根公式，将0＜α＜1，β＞2转化为关于a的不等式组，求a的取值范围，计算将会很繁琐．而利用根与系数关系进行转化时，很难得到充要条件．因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找问题解决的充要条件．设y=f（x）=x2-2ax＋a，如图5-17，若方程f（x）=0的两根分别在区间（0，1）和（2，＋∞）内，即抛物线y=f（x）与x轴的两个交点在分别位于原点与点（1，0）之间和点（2，0）的右侧，由先前的经验可知，只需考虑f（0），f（1），f（2）的符号，而无需考虑判别式以及对称的位置，因此得出其充要条件为：＜1，β＞2．（四）小结1．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．2．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是课堂教学设计说明1．数学是研究现实世界空间形成和数量关系的科学，简单地说就是“数”与“形”，“数与形”之间是有紧密联系的，是可以相互转化的．数形结合的思想是中学数学中要求学生必须掌握的一种数学思想，同时也是高考中的必考内容，可以说在高考中对数学能力的考查主要体现在对数学思想方法的考查上，因此在日常教学中应注重对学生进行数学思想的培养．2．在应用数形结合思想解决与方程、不等式有关的问题时，应考虑设辅助函数、利用函数图象来解决．应用数形结合，往往收到事半功倍的效果，但在进行转化时要注意等价转化．3．在教学过程中体现教师是主导，学生是主体．教师通过教材，选用合适的教学方式和手段，把知识、技能传授给学生，发展学生的数学能力，将人类总体的知识结构转化为学生的认识结构，并不断充实、完善．同时学生也必须以其自身的活动为中介，积极参与教学活动，才能使教师主导的外部作用切实传导给学生，才能通过反馈又反作用于教师，教师通过反馈信息，随时调整教学过程，提高课堂教学的效率，保证教学目标的实现．