不等式复习学案

高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。1◆本章知识结构◆重点难点聚焦1．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；2.能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的关系。◆本章应着重注意的问题1.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式的性质进行论证时，要注意每一个性质的条件。2.一元二次不等式的解法是根据一元二次方程根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论。3.应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a、b为正；二是a+b与ab有一个为正值；三是等号要取到。这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式（代数式）进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型。◆知识梳理及针对性练习：（Ⅰ）不等式的性质：1．（对称性）abba2．（传递性）,abbcac3．（加法法则）cbcaba4．（移向法则）cbabca不等式不等关系与不等式基本性质比较大小问题求范围问题一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题简单的线性规划问题基本不等式-----最大值最小值问题二元一次不等式（组）与平面区域高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。25.（同向不等式相加）,abcdacbd6.（乘法法则）,0abcacbc，,0abcacbc7.（都大于零的同向不等式相乘）0,0abcdacbd8.（乘方法则）0,,2nnabnNnab9.（开方法则）0,,2nnabnNnab比较两个实数（代数式）的大小——做差法：第一步：作差并化简，其目标应是化成几个因式之积或几个完全平方式的和或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时进行讨论；第三步：得出结论。练习：1．有下述说法：①0ab是22ab的充要条件.②0ab是ba11的充要条件.③0ab是33ab的充要条件.则其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2.已知cba,,满足,abc且0ac，那么下列选项中不一定成立的是（）A．acabB.0)(abcC.22abcbD.0)(caac3．已知a，b都是实数，那么“22ba”是“ab”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.已知12a60,15b36,则a-b及ba的取值范围分别是__________、______________。5．设,26,37,2cba则cba,,的大小顺序是（）A．cbaB.bcaC.bac.D.acb6．若f(n)=)(21)(,1)(,122Nnnnnnngnn,用不等号连结起来为____________.7．已知0x，比较22(1)x与421xx的大小高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。3（Ⅱ）一元二次不等式20(0)axbxca与相应的函数2(0)yaxbxca、相应的方程20(0)axbxca之间的关系：判别式acb42000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx①归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集②分式不等式的求解可等价转化为整式不等式：0)()(0)()(xgxfxgxf0)(0)()(0)()(xgxgxfxgxf0)()(0)()(xgxfxgxf0)(0)()(0)()(xgxgxfxgxf③一元二次不等式恒成立情况小结：20axbxc（0a）恒成立00a．20axbxc（0a）恒成立00a．)(xfa恒成立max)(xfa)(xfa恒成立min)(xfa④对于含参数的不等式求解时的注意事项及分类讨论的原则：当二次项系数含参数时，按参数符号进行分类讨论：二次项系数000，，当二次项系数不含参数时，且能因式分解，但两根大小无法判断时，按两根的大小进行讨论：，，当二次项系数不含参数，且不能因式分解时，按进行讨论：000，，不论哪类讨论，最后一定要“综述”⑤高次不等式的解法：穿根法（近似图形）⑥一元二次方程根的分布问题高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。4练习：1.不等式0)12(22aaxax的解集为()A.1axaxB.1axaxx或C.axax2D.2axax2.(2008.山东文科卷)不等式2)1(52xx的解集是()A.21,3B.3,21C.3,11,21D.3,11,213.关于x的方程02)1(2mxmx的两根为正数，则m的取值范围是（）A.221221mmm或B.21mmC.122mmD.2221mm4.解不等式063222xxxx5．已知不等式20axbxc的解集为{|23}xx求不等式20cxbxa的解集．6．关于x的不等式2680kxkxk的解集为空集，求k的取值范围.7．解关于x的不等式：（1）0)(322axaax；（2）04)1(22xaax高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。5（Ⅲ）基本不等式：(1)重要不等式：如果Rba,，那么abba222．（当且仅当ba时取“”）(2)均值不等式（基本不等式）ab2ab(0,0)ab．（当且仅当ba时取“”）(3)均值定理的应用若a,b,R且a+b=p(p为常数)，则ab存在最____值为_______________若ab=s(s为常数)，则a+b存在最___________值为________________应用均值不等式求函数最值应满足的条件是____________________________题型一应用均值定理证明不等式例1：已知a,bR,且a+b=1,求证9)11)(11(ba对应练习：1.设a,b为不相等的正数,那么式子ab、2ba、222ba、baab2中最小者与最大者分别是()A.baab2与2baB.baab2与222baC.ab与2baD.ab与222ba2.已知abRab,0,则下列式子总能成立的是（）A.2baabB.2baabC.2baabD.2baab题型二利用均值不等式求最值例2：（1）求函数y=x(a-2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值；（2）设x-1,求函数1)2)(5(xxxy的最值高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。6对应练习：3．设x0,则133yxx的最大值为（）Ａ．3Ｂ．332Ｃ．323Ｄ．－14．设,,5,33xyxyxyR且则的最小值是()A.10B.63C.46D.1835.（1）设x、y∈R＋且yx41＝1,则x＋y的最小值为________.（2）若,0xy,且21xy，则11xy的最小值为_______6.已知x＞0,y＞0且x+2y+xy=30,求xy的最大值题型三利用均值定理解应用题例3：某种汽车，购车费用为10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，他的平均费用最少？（Ⅳ）二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一般地，直线ykxb把平面分成两个区域（如图）：ykxb表示直线上方的平面区域；ykxb表示直线下方的平面区域．说明：（1）ykxb表示直线及直线上方的平面区域；ykxb表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．练习：1.不等式2x-y-60表示的区域在直线2x-y-6=0的（）A．左上方B.右下方C.左下方D.右下方2.若点（1,3）和（-4,-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是：（）A.m-5或m10B.m=-5或m=10C.-5m10D.-5≤m≤10x-y+2≥0,5x-y-10≤0,3.（08年山东）设x,y满足约束条件x≥0,则z=2x+y的最大值为y≥0,高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。74.给出平面区域如图所示，若目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A:41B:53C:4D:35C(1,522)A(5,2)B(1,1)x-y+2≤05.（07年辽宁）已知变量x,y满足约束条件x≥1,则xy的取值范围是()x+y-7≤0A:[59,6]B:(-∞,]59[6,+∞)C:]6,3[D:(-∞,3][6,+∞)6、某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？◆知识巩固练习：一、选择题1．对于任意实数a、b、c、d，下列命题：①bcaccba则若,0,；②22,bcacba则若③babcac则若,22；④baba11,则若；⑤bdacdcba则若,,0．其中真命题的个数（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４2．不等式xx283)31(2的解集是（）A．(-2,4)B．(-∞,-2)C．(4,+∞)D．(-∞,-2)∪(4,+∞)高二数学不等式复习学案凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。83．设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集为，则不等式0)()(xgxf的解集是()A.B.,2()1,()C.[1，2]D.R4．不等式0322322xxxx的解集是（）A．(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,+∞)B．(-1,1)∪(2,3)C．(-1,1)∪(1,2)D．(1,2)∪(2,3)5．已知不等式22210xxk对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是（）A.(2,2)B.(,2)(2,)C.(2,)D.(2,2)6.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个二、填空题．7．已知x＞2，则y＝21xx的最小值是．8．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．9．已知0x31,则函数y=x(1-3x)的最大值是．三、解答题10.已知：1a，解关于x的不等式12xax．11.某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．