不等式的特点与规律

不等式的特点与规律数量关系是数学研究的核心内容之一，数量关系既包括等量关系，也包括不等量关系，与刻画等量关系的等式、方程、函数等模型不同，不等式则是刻画普通存在的不等关系的典型模型。理解进而掌握不等式模型，不仅可以深化对等式、方程等模型的理解，而且可以丰富自己的数学认知结构，为后续学习奠定重要基础。为此，我们必须努力做到以下三个方面。一、理解不等关系：不等关系与相等关系既是矛盾对立的，也是相互统一的。事实上，对于两个量a、b之间的不等关系ab，如果我们引入一个实数，使得ba，那么，0ba，即是一个正数，从而不等关系ab可以等价地转化为相等关系ba（其中是一个正数）。二、理解不等式的基本性质：对此我们可以从以下三个方面进行思考1、类比等式性质理解和掌握不等式性质：等式有很多基本的性质，不等式也是如此。在理解不等式的基本性质时，我们可以借助类比的思想，对照等式相应的性质，感受不等式的基本性质。但是，对于性质3“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，我们要知道这时不等号的类别不变，但方向改为原来的相反方向，即、、、依次改为、、、。这是等式里所没有的，解不等式时尤其要注意这一点。2、能够初步证明不等式的有关性质：利用“baba（其中是一个正数）”，我们可以很简捷地证明不等式的三个基本性质。例如，对于性质1“若ab，则cbca”，因“baba（其中是一个正数）”，于是，由等式性质，得cbca，即)cb(ca，从而必有cbca。同样地，对于性质2和性质3，利用“baba（其中是一个正数）”也能很容易地证明。3、能够利用不等式的性质解决有关问题：解不等式的过程，实际上就是利用不等式的基本性质以及相关的法则将不等式变形的过程。我们可以类比解一元一次方程（组）的过程解一元一次不等式（组）。当然，二者最大的不同在于不等号的变化，解方程（组）时不会涉及这一点。三、理解与不等式有关的建模思想在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么，方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。建立不等式模型，需要我们将现实问题“数学化”，即根据问题情境中的数量关系，列出不等式，进而解不等式，最后还要将结果“翻译”到现实问题中，检验其是否符合实际意义。例某服装厂生产西装和领带，每套西装定价200元，每条领带定价40元。厂方在促销期间，向客户提供两种优惠方案：（1）买1套西装送1条领带；（2）西装和领带均按定价的90%付款（即打九折）。某商店老板要到该服装厂购买20套西装和x（x20）条领带。请你根据x的不同情况，帮助老板选择最省钱的购买方案。解：按方案（1）购买，应付款：3200x4040)20x(20200y1（元）。按方案（2）购买，应付款：3600x36%90)x4020200(y2（元）。由21yy，得100x，即100x20时，选方案（1）比选方案（2）省钱。同理，当x=100时，选方案（1）与选方案（2）付款相同；当x100时，选方案（2）比选方案（1）省钱。若想既获得厂方赠送的领带，同时又享受九折优惠，可将两个方案综合，设计出方案（3）：先按方案（1）购买20套西装并获赠20条领带，然后按方案（2）购买余下的)20x(条领带。此时，应付款：3280x36%9040)20x(20200y3（元）。方案（3）与方案（2）比较，显然按方案（3）购买较省钱。方案（3）与方案（1）比较，由13yy，得3200x403280x36，解得x20。故当x20时，方案（3）比方案（1）省钱。综上所述，当x20时，按方案（3）购买最省钱。