与幂有关的比较大小问题

与幂有关的比较大小问题江苏孙翠梅在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能，这时该如何比较呢？下面举例介绍几种常用的比较幂的大小的方法．一、比较幂的大小方法一：指数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．例1已知3181a，4127b，619c，则a、b、c的大小关系是（）Aa＞b＞cBa＞c＞bCa＜b＜cDb＞c＞a解：因为3181a＝431(3)＝1243，4127b＝341(3)＝1233，619c＝261(3)＝1223，因为124＞123＞122，所以1243＞1233＞1223，即a＞b＞c，故选A．方法二：底数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．例2503、404、305的大小关系是（）A503＜404＜305B305＜503＜404C305＜404＜503D404＜305＜503解：因为503＝510(3)＝10243，404＝410(4)＝10256，305＝310(5)＝10125，而125＜243＜256，所以10125＜10243＜10256，即305＜503＜404，故选B．方法三：作商比较法当a＞0，b＞0时，利用“若ab＞1，则a＞b；若ab＝1，则a＝b；若ab＜1，则a＜b”比较．例3已知P＝999999，Q＝990119，那么P、Q的大小关系是（）AP＞QBP＝QCP＜QD无法比较解：因为PQ＝999999×909911＝999(911)9×909911＝99999119×909911＝1，所以P＝Q，故选B．二、比较指数大小例4已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，那么a、b、c间的大小关系是（）Aa＋b＞cB2b＜a＋cC2b＝a＋cD2a＜b＋c解：因为2a＝3，2b＝6＝2×3，2c＝12＝22×3，而2(23)＝23(23)，所以2(2)b＝22ac，即22b＝2ac．所以2b＝a＋c，故选C．三、比较底数大小例5已知a、b、c、d均为正数，且2a＝2，3b＝3，4c＝4，5d＝5，那么a、b、c、d中最大的数是（）AaBbCcDd分析：直接比较四个数的大小较繁琐，可两个两个的比较确定最大的数．解：因为236()aa＝32＝8，326()bb＝23＝9，所以6a＜6b，于是a＜b．因为3412()bb＝43＝81，4312()cc＝34＝64，所以12b＞12c，于是b＞c．因为3515()bb＝53＝243，5315()dd＝35＝125，所以15b＞15d，于是b＞d．综合知，b是最大的数，故选B．