与抛物线有关的中考压轴题精选

与抛物线有关的中考压轴题一、（2009江津市）如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解析：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2yxbxc中得10930bcbc＝……………………（2分）∴23bc……………………（3分）∴抛物线解析式为：223yxx……………………(4分)(2)存在…………………………………………………………………………(5分)理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴1x对称∴直线BC与1x的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵223yxx∴C的坐标为：(0，3)直线BC解析式为：3yx……………………………………(6分)Q点坐标即为13xyx的解∴12xyABC(3)xyABCPEOxyABCQO(2)∴Q(－1，2)…………………………………………………………………(7分)（3）答：存在。…………………………………………………………………(8分)理由如下：设P点2(23)(30)xxxx，∵92BPCBOCBPCOBPCOSSSS四边形四边形若BPCOS四边形有最大值，则BPCS就最大，∴BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形＝……………………………………………(9分)11()22BEPEOEPEOC＝2211(3)(23)()(233)22xxxxxx＝233927()2228x当32x时，BPCOS四边形最大值＝92728∴BPCS最大＝9279272828………………………………………(10分)当32x时，215234xx∴点P坐标为315()24，………………………………………(11分)二、（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解析：（1）B（1，3）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,3），得33a，因此232333yxx（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以33,320.233kkbkbb解得，因此直线AB为32333yx，当x=－1时，33y，因此点C的坐标为（－1，3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()21323323323333333223193228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx当x=－12时，△PAB的面积的最大值为938，此时13,24P.三、（2007辽宁沈阳）．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；BAOyxCBAOyxDBAOyxP（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解析（1）点B（2，0），点C（0，8），点A（－6，0），（2）抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8，（3）由EFAC＝BEAB，因为AC=2268=10，BE=8-m，AB=8.所以EF＝40－5m4.作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=54108.所以在Rt△EGF中，FG＝EF·sin∠FEG=45·40－5m4=8-m，所以S＝BFEBCESS=8821m-mm8821=－12m2＋4m，m的取值范围是0＜m＜8（4）存在．因为S＝－12m2＋4m，又a=210，当m=ab2=2124=4时，a4bac42最大S=8.因为m=4，所以点E的坐标为（－2，0），△BCE为等腰三角形．四（2006·泉州市）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为X轴建立直角坐标系（如图所示）.（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和．．．．的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.解:⑴12,0,6,6MP⑵（法1）设这条抛物线的函数解析式为:266yax∵抛物线过O(0,0)∴06)60(2a解得16a∴这条抛物线的函数解析式为:21666yx即2126yxx.（法2）设这条抛物线的函数解析式为:cbxaxy2∵抛物线过O(0,0),12,0,6,6MP三点，∴01212666022cbacbac解得：0261cba∴这条抛物线的函数解析式为:2126yxx.⑶设点A的坐标为21,26mmm∴OB=m，AB=DC=mm2612根据抛物线的轴对称,可得:OBCMm∴122BCm即AD=12－2m∴l＝AB+AD+DC=mmmmm26121226122=122312mm=15)3(312m∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米.