专题13变化率与导数导数的计算-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．【热点题型】题型一导数的概念例1、直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,2)，则ab＝()A．－8B．－6C．－1D．5【提分秘籍】1．并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点x＝0处就没有导数，但在定义域上的其他点处都有导数．2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．3．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．【举一反三】[来源:学*科*网Z*X*X*K]曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0【热点题型】题型二导数的运算例2、函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)【提分秘籍】1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cosx)′＝－sinx.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.3．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．【举一反三】函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx【热点题型】题型三导数的几何意义例3、(1)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；[来源:学科网ZXXK]②求斜率为4的曲线的切线方程．【举一反三】[来源:学|科|网]在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．【热点题型】题型四利用导数的几何意义求参数值或范围例4、(1)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)的直线方程为y＝ax＋16，与曲线y＝f(x)相切，则实数a的值是()A．－3B．3C．6D．9(2)(2014年温州第一次适应性测试)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【提分秘籍】利用导数的几何意义，求参数值或参数范围时要注意判断已知点是否为切点．【热点题型】题型五求切线倾斜角的范围例5、点P在曲线y＝x3－x＋23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.0，π2B.0，π2∪3π4，πC.3π4，πD.π2，3π4【提分秘籍】利用导数的几何意义，先确定切线斜率的范围，再根据k＝tanα，α∈[0，π)及正切函数图象可求倾斜角α的范围．【举一反三】设直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b的值为________．【高考风向标】1．[2014·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．2．[2014·安徽卷]设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞c1p，an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：an＞an＋1＞c1p.3．[2014·福建卷]已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2cex.4．[2014·广东卷]曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．5．[2014·江西卷]若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．6．[2014·江西卷]已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间0，13上单调递增，求b的取值范围．7．[2014·全国卷]曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．18．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．39．[2014·陕西卷]设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；[来源:Z§xx§k.Com](3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．10．[2014·四川卷]设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.【随堂巩固】1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．e[来源:Z#xx#k.Com]C.ln22D．ln22．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1B．±1C．1D．±33．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)1，则不等式ex·f(x)ex＋1的解集为()A．{x|x0}B．{x|x0}C．{x|x－1，或x1}D．{x|x－1，或0x1}4．若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)－f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()A．af(b)bf(a)B．af(a)bf(b)C．af(a)bf(b)D．af(b)bf(a)5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()6．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是()①f(x)0恒成立；②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0；③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；④fx1＋x22fx1＋fx22；⑤fx1＋x22fx1＋fx22.A．①③B．①③④C．②④D．②⑤7．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在0，π2上不是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝x·ex8．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．9．设P是函数y＝x(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．10．已知函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e为偶函数，图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．11．已知函数f(x)＝13x3－a＋12x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；(2)若存在x0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值．