专题5圆锥曲线与函数,导数的综合

专题5．圆锥曲线与函数，导数的综合切线是曲线的一个重要的几何性质，导数的介入使求切线方程成为可能，从而丰富了解析几何的研究内容，而研究圆锥曲线有关参数的范围，有关几何元素的最值则离不开函数和导数等工具，即用导数求切线的斜率，用函数或导数求最值或参数范围等，因此在考查圆锥曲线的试题中，经常出现圆锥曲线与函数和导数的综合题。在2004年的试卷中,函数,导数与解析几何综合的解答题出现的,有全国卷Ⅰ（理）（函数值域），全国卷Ⅱ（理）（函数值域），福建卷（文，理）（切线），湖南卷（理）（切线）辽宁卷（最值）。在2005年的试卷中,函数,导数与解析几何综合的解答题出现的,有全国卷Ⅱ（文，理）(增减性,最值)，广东卷（最值），天津卷（最值），江西卷（切线）浙江卷（最值）等【分析及解】如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k。又PQ过点F（0,1），故PQ方程为1ykx，将此式代入椭圆方程得22(2)210kxkx设P、Q两点的坐标分别为11,xy、22,xy，则212222kkxk，222222kkxk从而222221212228(1)||()()(2)kPQxxyyk，2222(1)||2kPQk（1）当0k时，MN的斜率为－1k，同上可推得22122(1())||12()kMNk故四边形的面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52kkkkSPQMNkkkk【例1】(2005年，全国卷II，理21文22)P、Q、M、N四点都在椭圆1222yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知.0,,MFPFFNMFFQPF且共线与共线与求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.令221ukk，得4(2)12(1)5252uSuu因为2212ukk，当1k时，162,9uS，且S是以u为自变量的增函数，所以162.9S（2）当0k时，MN为椭圆长轴，||22,||2MNPQ，1||||22SPQMN综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为16.9【分析及解】（Ⅰ）设切点A、B坐标分别为22001110(,)(,)(()xxxxxx和，由2:xyC的导数为xy2,∴切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP的方程为：;02211xyxx解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即（Ⅱ）方法1：10,4F,).41,(),41,2(),41,(2111010200xxFBxxxxFPxxFA由于P点在抛物线外，则.0||FP【例2】(2005年，江西卷，理22)如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（Ⅰ）求△APB的重心G的轨迹方程.（Ⅱ）证明∠PFA=∠PFB.,||41)41(||)41)(41(2||||cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP同理有,||41)41(||)41)(41(2||||cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以P点坐标为)0,2(1x，则P点到直线AF的距离为：,4141:;2||12111xxxyBFxd的方程而直线即.041)41(1121xyxxx所以P点到直线BF的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当001xx时，直线AF的方程：,041)41(),0(041410020020xyxxxxxxy即直线BF的方程：,041)41(),0(041411121121xyxxxxxxy即所以P点到直线AF的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd，同理可得到P点到直线BF的距离2||012xxd，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.【分析及解】（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42得.0442mkxx①设A、B两点的坐标分别是),(11yx、122),,(xyx则、x2是方程①的两根.所以.421mxx由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得.,012121xxxx即又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而)2,0(mQP.).)1(,(),(),(21212211myyxxmyxmyxQBQA])1([2)(21myymQBQAQP22112122121222[(1)]4442()4xxxxmmxxxxmmxxx.0444)(2221xmmxxm所以).(QBQAQP（Ⅱ）由,4,01222yxyx得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.由24xy得,21,412xyxy所以抛物线yx42在点A处切线的斜率为36xy设圆C的方程是,)()(222rbyax则.)4()4()9()6(,3192222bababab解之得.2125)4()4(,223,23222barba【例3】(2004年，湖南卷，理21)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.(Ⅰ)设点P分有向线段AB所成的比为，证明:)(QBQAQP；(Ⅱ)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.所以圆C的方程是,2125)223()23(22yx即.07223322yxyx