专题4函数与基本初等函数(三)

教育学科教师辅导讲义讲义编号：年级：辅导科目：数学课时数：课题函数与基本初等函数（三）教学目的教学内容第五节指数与指数函数（一）高考目标考纲解读1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．考向预测1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想．2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．（二）课前自主预习知识梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n1且n∈N＋)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做，其中n1且n∈N＋.式子na叫做，这里n叫做，a叫做．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为±na(a0)．③(na)n＝.④当n为奇数时，nan＝；当n为偶数时，nan＝|a|＝aa－aa.⑤负数没有偶次方根．⑥零的任何次方根都是零．2．有理数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝nam(a0，m，n∈N＋，n1)．②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1nam(a0，m，n∈N＋，n1)．③0的正分数指数幂是,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝(a0，r，s∈Q)．②(ar)s＝(a0，r，s∈Q)．③(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．3．指数函数的图像与性质定义域值域过定点性质当x0时，；x0时，.当x0时，；x0时，.（三）基础自测1．若a＝(2＋3)－1，b＝(2－3)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是()A．1B.14C.22D.23[答案]D[解析]a＝2－3，b＝2＋3，∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)262＝2462＝2436＝23.2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1[答案]C[解析]由y＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，可得a2－3a＋3＝1a0且a≠1，解得a＝1或a＝2，a0且a≠1，即a＝2.3．(2011·东营模拟)函数y＝12－x2＋x＋2的单调递增区间是()A．(－∞，－1]B．[2，＋∞)C.－1，12D.12，2[答案]D[解析]令t＝－x2＋x＋2≥0，得函数定义域为[－1,2]，所以t＝－x2＋x＋2在－1，12上递增，在12，2上递减．根据“同增异减”的原则，函数y＝12－x2＋x＋2的单调递增区间是12，2.4．函数f(x)＝fx＋，x2，2－x，x≥2，则f(－3)＝__________.[答案]18.[解析]f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝18.5．(2009·江苏文)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为________[答案]mn[解析]本题主要考查指数函数的图像和性质．∵a＝5－12，∴0a1，函数f(x)＝ax在x∈R上是单调递减的．又f(m)f(n)，∴mn.7．若函数f(x)＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，求a的取值范围．[解析]∵0a2－11，∴1a22，∴－2a－1或1a2.即a的取值范围是(－2，－1)∪(1，2)．（四）典型例题1.命题方向：幂式的化简与求值[分析]将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算性质进行运算．