一类多变量最值问题的全方位探究

一类多变量最值问题的全方位探究王玉林（新疆大光华国际学校830023）燕照盈（新疆大光华国际学校830023）在某种约束条件下求多变量最值问题已成为近年来高考题、竞赛题、模拟题的命题热点．由于该类问题变量较多且主次难分，相互间的制约关系难以确定，所以不少学生往往找不到解题的切入点而束手无策．笔者以2014年高考辽宁卷理科第16题为例，谈谈解答多变量最值问题的八种切入视角，希望对大家有所启迪．题目对于0c，非零实数a,b满足224240aabbc，且使2ab取最大值时，345abc的最小值为_________．视角1构造方程减元给出的条件与目标函数中均含有三个变量,,abc，解题的主要思路是设法用一个变量去表示另一个变量，充分利用约束条件减少变量的个数，最终转化为我们熟悉的单变量问题，以便问题的解答．解法1设2,abm则2bma，代入224240aabbc中，整理得22241840amamc．①方程①显然有解，故0，即22(18)424(4)0mmc，得285mc．于是28(2)5abc，2ab取最大值85c．此时(18)33(2)22488mmaba，即23ab．②故32ab，210cb．从而345abc=2224111(2)2222bbbb．所以，当12b时，345abc取最小值-2，此时34a，12b，52c．点评先将c视为一个常数，通过构造方程2abm，将a视为主元，m视为参数，将其转化为一元二次方程有实数解时判别式非负的问题，达到了减元的目的．视角2构造完全平方式对任意的xR，20x恒成立，运用等号成立的条件，可求出最值．根据题意可知22424caabb，且2ab取最大值，故可将c表示为两个完全平方式的形式，其中一个完全平方式为2(2)ab．解法2由224240aabbc，得2253(2)(23)88cabab．则2253(2)(23)88abcabc．故28(2)5abc，故2ab取最大值85c，此时23ab．以下同解法1（从②开始）．点评对于齐次方问题，构造完全平方式是不错的选择．视角3用两个变量的比换元观察22424caabb及222(2)44abaabb，先将两式相除可得22222(2)44424abaabbcaabb，再将分子、分母同除以2b，设axb，从而引入新的变元x，实现了减元的目的．解法3由题意得22222(2)44424abaabbcaabb③因为,ab为非零实数，同除以2b，设axb，则③式变形为2222216441632114244241142422xxxxxxxxxx．④令12x=t，则②等价于2666811144245442242ttttttt．⑤当且仅当44tt，即1t时，等号成立．因为2ab取最大值，故a、b同号，即axb为正值，则1t，即112ab，故23ab．由③、④、⑤得28(2)5abc，故2ab取最大值85c，此时23ab．以下同解法1（从②开始）．点评观察分式的结构，通过将题设中两个变量作商而引入新的变元，使分式仅含有一个变量，结合均值不等式求出最值．视角4用线性代数式换元本题约束条件中虽然未出现一次项，但仔细观察22424caabb，发现2a与2b前的系数相同，故可采用线性代数式mn、mn表示a、b，化简得到22610cmn，从而消去条件中的交叉项2ab，大大简化了问题．解法4设amn，bmn，则2222224()2()4()610cmnmnmnmn．⑥23abmn．令3mn，则3nm，代入⑥式，得229660100mmc．⑦方程⑦显然有实根，故0．即22(60)496(10)0c，得285c，即28(2)5abc．故2ab取最大值85c，此时(60)529616m，316nm，258c；则38amn，14bmn．于是345abc=2288118222．所以，当112时，345abc取最小值-2，此时34a，12b，52c．点评通过换元得到22610cmn，虽未减少变量的个数，但为灵活利用柯西不等式、三角代换、判别式、线性规划等知识求最值创造了条件，拓展了解题思路．视角5柯西不等式柯西不等式为：若12,,,nxxx与123,,,,nyyyy是两组实数，则222111nnniiiiiiixyxy，当且仅当ix与iy成比例时等号成立．对于多变量最值问题，通过适当的配凑变形后可运用柯西不等式求解．解法5由224240aabbc，得2253(2)()232bcab．由柯西不等式得22222235331(2)(2)(2)523222bbababab．即28(2)5abc，故825abc．当且仅当212533325bab，即23ab时，等号成立．于是2ab取最大值85c，此时23ab．设23ab=k，则2ka，3kb，2109ck．故345abc=2962kk=2912()223k2．因此，当123k时，345abc取最小值-2，此时34a，12b，52c．解法6由224240aabbc，得22213(2)(43)22cabab．由柯西不等式得222222213(43)(1)(2)(3)1(2)33ababab．即222343(2)4abab，于是28(2)5abc．当且仅当23133ab，即23ab时，等号成立．因此2ab取最大值85c，此时23ab．以下同解法5．解法7由解法4可知22610cmn，23abmn．由柯西不等式得222222231310(610)(6)(10)(3)210210mnmnmn．当且仅当610310210mn，即5mn时，等号成立．故3mn取最大值时，此时5mn，则6an，4bn，2160cn．于是345abc=21182232n．所以，当18n时，345abc取最小值-2，此时34a，12b，52c．点评解法5、解法6、解法7中，根据题设变形后的式子，表面上看往往缺少柯西不等式中的三个因式21niix、21niiy、21niiixy中的一个或两个，所以我们要根据题设与结论之间的关系设法嵌入一个因式，这是利用柯西不等式的主要技巧，以上三种解法都说明了这一点．视角6基本不等式利用基本不等式“,,2abRabab（当且仅当a=b时取等号）”求最值，注意遵循“一正二定三相等”的条件．但利用“222abab”及“22abab”时，则,abR，定值与相等的条件仍然必须满足．解法8由224240aabbc，得2253(2)()232bcab．由均值不等式得255(2)22288baccab．⑧当且仅当5228bac时，等号成立．253353()232882bccb．⑨当且仅当533328bc时，等号成立．⑧+⑨，得53522(2)228228bccabcab．⑩当且仅当22ba与32b同号时等号成立．当⑧、⑨、⑩式等号同时成立时，即23ab时，2ab取最大值85c．以下同解法5．点评多次运用均值不等式及绝对值不等式，要特别注意多个不等式是否同向及等号能否同时成立．解法9由224240aabbc，得2(2)3(2)abbabc．又233223(2)2(2)222babbabcbabc=23(2)8abc．当且仅当22bab，即23ab时，等号成立．故28(2)5abc，即825abc，此时23ab．以下同解法5．点评运用均值不等式求最值，通过变形得到“积为定值”或者“和为定值”是解题的关键．视角7三角换元观察约束条件22424caabb，联想到同角三角函数关系式22sincos1，可采用两种三角代换方式：一种是直接进行三角代换，设cosar，sinbr（r0）；另一种方式是将22424caabb的右边化成两个一次式的平方和形式，即2253(2)()232bcab，只需令2cos215sin2bacbc，就将代数问题转换成为三角问题．然后利用三角函数的有界性sin1或s1co求出最值．解法10设cosar，sinbr（r0），则2(4sin2)cr，即24sin2cr．故223(7cos2)(2)(53cos24sin2)(4)224sin2rcab．令7cos24sin2t，则sin2cos247tt，即21sin(2)47tt，于是2471tt，即41235t．当125t时，即12tan213，得2tan3，故23ba．则28(2)(34)25cabtc．故2ab取最大值85c，此时23ab．以下同解法5．解法11由224240aabbc，得2253(2)()232bcab．令2cos215sin2bacbc，则1sincos2152sin15caccb．于是23sincos15cabc=8sin()5c．其中6cos4，10sin4．所以2ab取最大值时，sin()1，即()2kkZ．不妨设2()2kkZ，则6sincos4，10cossin4．故31020ca，1010cb．345abc=2110525c2当52c时，等号成立；此时，31,42ab．因此，当31,42ab，52c时，345abc的最小值为2．解法12由解法4可知22610cmn，23abmn．设cos6sin10cmcn，则23abmn=83cossinsin()6105ccc．其中15sin4，1cos4．当2ab取最大值时，sin()1，即()2kkZ．不妨取2()2kkZ，则1sincos4，15cossin4．于是108cm，1040cn，故31020ca，1010cb．以下同解法11．点评解法10直接进行三角代换，虽思路自然，但运算量较大，技巧性强；解法11、解法12将已知等式转化为两个一次式的平方和等于正常数c的形式，过程简洁，无需过多技巧，达到化繁为简的目的，是解答该类问题的常用方法．视角8构造三角形观察22424caabb这一关系式，联想到余弦定理，可大胆构造一个三角形，三边为2,2,abc，借助正、余弦定理及三角函数性质进行解答．解法13由224240aabbc，得22424caabb．构造ABC，三边长分别为2,2,abc，所对的角分别为A、B、C．由余弦定理得22448coscababC，故1cos4C，则15sin4C．由正弦定