一类特殊粗糙核算子有界性

一类特殊粗糙核算子有界性马丽谢显华许绍元赣南师范学院数学与计算机科学学院江西赣州341000摘要：本文主要研究一类特殊粗糙核奇异积分算子dyyxfyyybVPxfTnRnb)(||)'(|)(|.)(,,当)2(b，0，且)()'(11nSLy下的)(npRL有界性，该积分条件较[1]弱，从而推广了[1]中定理1的结论。关键词：Littlewood-Paley理论；粗糙核；Fourier变换估计；算子插值理论中图分类号：O177.6文献标识码：A1引言设)2(nRn是n-维欧氏空间，1nS为nR中赋予Lebesgue测度)(dd的单位球面对非零点nRx，记.||'xxx设)(11nSL为nR的零次齐次函数，且满足1.0)'()'(nSxdx（1.1）对1s，令s表示如下定义在),0[上可测函数类：})|)(|1(sup:)({:100sususdttbubtbs.显然若211ss时，则有.121ss如下定义奇异积分算子)(fSIb：.)(||)'(|)(|.)).((dyyxfyyybVPxfSInRnb（1.2）明显地，当1b时，)(fSIb即为经典的Calderon-Zygmund]1[算子，此时我们记)(fSIb=)(fSI.Calderon-Zygmund证明了当)(log1nSLL且满足消失性和（1.1）式时，bSI是)1)((pRLnp有界的。随后，R.Fefferman]2[证明了当满足Lipschitz条件时，)(fSI也是)1)((pRLnp.紧接着，Duoandikoetxea和RubioDeFrancia]3[运用国家自然科学基金（10961003）资助项目.作者简介：马丽（1983-），女，福建明溪人，讲师，硕士研究生，主要从事泛函分析研究.谢显华（1978-），男，江西兴国人，副教授，在读博士研究生，主要从事泛函分析研究.Littlewood-Paley理论和Fourier变换估计又改进了Fefferman的结论，证明了当)(1nqSL时，bSI是)1)((pRLnp有界的。最近，Fan和Pan运用另一方法证明如下定理：定理A]3[：设算子bSI如（1.2）式所示，若)(11nSH且满足（1.1），那么bSI是)1)((pRLnp有界的。此外，Chen，Fan和Ying]4[研究了另一奇异积分算子)(,,xfTb定义如下：.)(||)'(|)(|lim)(lim)(||)'(|)(|.)(||0,,,0,,dyyxfyyybxfTdyyxfyyybVPxfTynbRnbn其中b，0及)(1nqSH满足10)'()'()'(nSmydyYy，其中)'(yYm表示定义在1nS上的m次任意多项式。他们得到了如下结论：定理B]3[：p1，}1,max{~pppp.若b时，其中)(1nqSH（11nnq）且对定义在1nS上的m次任意多项式)'(yYm（Nm）满足10)'()'()'(nSmydyYy，（1.3）那么.)()()()(,,1npnqnpRLSHRLbfCfT其中12~pN，}1,max{~pppp.一个自然的问题是：若)1(sbs，仍满足定理B所对应的条件，定理B的结论是否仍然成立？本文主要解决这一问题。下面叙述本文的主要结果：定理1：若)2(sbs，)11)((1nnqSHnq且还满足（1.3）式，那么)(,,fTb是)(npRL有界的。（其中2p）若定理1得证，则本定理将推广了定理A和B的相关结论。本文安排如下：在第二节中将给出一些基本概念和辅助引理，定理1的证明将在第三节中给出。为方便起见，下文中字母C总表示与基本变量无关的常数，但在不同的位置其值可以不同。2辅助引理为了证明定理1，先引入相关的定义和引理。首先给出一些相关概念和记号。定义在1nS的Poisson核nryxryrxP|''|1)'(2'，其中10r，1','nSyx.对任意)('1nSSf，定义极大径向函数)'(xfP如下：.|,|sup)'('10rxrPfxfP其中)('1nSS表示1nS空间上的全体Schwartz分布。Hardy空间)(1nqSH的范数定义为)()(11nqnqSLSHfPf.Hardy空间)(1nqSH中的一个重要性质是原子分解：一类是被1控制的)(1nSL例外原子)(xE，另一类是1),(1rSLnr中的),(rq正则原子函数)'(xa满足如下条件：1）}|''|,'{)(sup01xxSxapn，对某个,'10nSx以及20；2）对定义在1nS上的m次任意多项式)'(yYm（Nm）满足10)'()'()'(nSmydyYy；3）)11/()1()(1rqnSLnra.对任意的)(1nqSH都满足原子分解：11iiijjjEa.在下文中，我们记非零点nnR),,,(21，其中)',,','(||/21n121),,,(nnS，),,(2n.引理2.1]4[：设3n，(.)a为定义在1nS的),(q原子，其支集为),(1BSn，其中),(B表示以为半径，1'nS的球。记)~()~)1(,()()1()(2212)1,1(232ydyssasXssFnSna，则存在Rs0，使得));'(2),'(2()(sup00rsrsFpa（2.1）;)'(1)1)(11(rCFnqa（2.2）],,0[,0)(NkdsssFkRa（2.3）其中|||||'|)'(1AAr及).,,,(21nA设)'(xa为一),(q（11nnq）原子，则算子))((,,xfTb可如下表示：,)()(|||)(|))((||,,dyyxfyayybxfTyn（2.4）其中)(nRSf0，C为与)'(xa无关的常数。不失一般性，我们假设1),()(supnSlBap，其中)0,,0,0,1(l，且记,2(kkI,,2,1)21kk那么kkbxfTxfT)()(,,，易知)(ˆ)(ˆ)(ˆffTkk，记)(xk|)(|)'(|||)(|xInkXxaxxb，于是有dyyxfXyayybxfTyIRnkkn)()'(|||)(|)(|)(|,（2.5）引理2.2对任意的0,Zk，我们有（1）)1)(11(1|2|2|)(ˆ|nqNkkkAbCs；（2.6）（2）)1)(11(21|2|2|)(ˆ|nqkkkAbCs，对任意2s成立。（2.7）证明：（1）对nR，我们选取一个旋转变换O，使得).0,0,0,1(||||)(lO设)',,',',('32nyyysy，于是有dtydeyOattbCylitISkkn)'())'(()(||)(ˆ|',||111，其中1O是O的逆变换，其中))'((1yOa表示定义在1),'(nSB的),(q原子，并且.),()'(1nSlBya因此dtdsesFttbCdsdtydesFttbCsitRaIksitISakkkn|)(|.|)(|2|)'()()(||)(ˆ|||1||11（2.8）.|2|2)|)(|(2)1)(11('1'||nqNkksIRssitakACdttdsesFCk上式证明过程中假定))'(2),'(2(suprrpFa，并且在第二个不等式中运用了Holder不等式，故（2.6）式得证。下面证明（2.7）式。在（2.8）式右侧运用Holder不等式有.|2|2))(()|)(|(2)|)(|(2|)()(||)(ˆ|)1)(11(21'2'2||2||2'221212||2||2'1||2||2'||1111nqkksssitsRakssRitsakRsitaIkAbCdttdtdsesFbCdttdsesFbCdsdtesFttbCskkkkskksk（其中2s）于是（2.7）式得证。3定理1的证明现在取非负径向)(nRC函数)(x满足：(i)1)(0x，且}2||21,{)(supxxp；(ii))2()(xxjj且jjt1)(2对于}0{\nRt.定义乘子算子jS如下：)().(ˆ))(ˆ(AffSjj，易知jjbxfTxfT)(~)(,,，其中).())(())((~xfSTSxfTkjkkkjj由Littlewood-Paley理论可知：对),1(p，有)(21222)|)(|(~npRLkkjkjfSTCfT.（3.1）一方面我们假定2p时，记2)'2(pppm，此时取非负函数)(nmRLg，其中1mg结合(3.1)式，有dxxgfSTfTjkkRkpjn)(|)(|~22由于))(|(|2)')'(|)'(||(2)|')'()'(|(2)|')'()'(|()|)(|(2|)()'(|||)(|||))((|22)11)(1(22222)11)(1(2'222'2)11)(1(2'222'2222)11)(1(222||2211111111xfSLCdttdytyxfSyACdttdytyxfSyACdttdytyxfSyAdtttbdyyxfSyayybxfSTkjkkqnSkjkqnsSskjkqnsSskjsskqnkjnyjkkkknkknkknkkkk其中)'()'()11)(1(yayAqn，且dyyxfSyyAxfSLkkykjnkjk12||222)(||)'())(|(|.因此有.)(|)(|2)(|)(|~22)11)(1(222dxxgNxfSCdxxgfSTfTAjkRkkqnjkkRkpjnn其中122)(|||)'(|sup)(sup)(kkdyyxgyyAxgLxgNnkkkA，由旋转方法及Hardy-Littlewood极大函数的有界性知：.)()()(CgCxgNnsnsRLRLA由Holder不等式，有)(212)11)(1(22)|2|(~npRLkjkkqnpjfSCfT.由kS定义及Triebel-Lizorkin空间定义，我们易知：)()()(2122,)|)/2(|(npnpnpRLRFRLkkkfffS，于是当2p时，有.2~)()(npnpRLjRLjfCfT(3.2)另一方面，当2p时，有.|)(ˆ||)(ˆ||)(ˆ)(ˆ)(|)(|)(|~222222dfCdfACdyyfSTCfTkDkkRkkjjkkRkjkjnn(3.3)其中}.2||2:{11kjkjkjA