专题一分段函数

2012-2013铁富高中二轮复习专题一函数与导数第2课时分段函数（1）姓名班级一、教学目标：解决分段函数的图像、值域、奇偶性、应用题等问题。二、典例解析问题1、分段函数图像例1、画出下列函数图像并求单调区间及值域、最值。3212xxy（2）223(0)23(01)5(15)xxyxxxxx，，，≤≤≤回顾：练习：求函数)(xf＝)2(,2)2(,42xxxxx的值域问题2、分段函数的奇偶性例2、判断函数22(0)()(0)xxxfxxxx，≤的奇偶性．回顾：判断分段函数的奇偶性（和单调性）应遵循“分段判断，合并作答”的原则．练习：已知奇函数f(x)(xR)，当x0时，f(x)=x(5－x)+1.求f(x)在R上的表达式。问题3、分段函数的应用题例3、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝x4＋20x≤4，6x－2x4，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的值．回顾：本题的实际应用题所给函数模型为分段函数模型，模型无需建立(变式题需要建立模型)，本题的难点所在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化。练习：[2011·湖北卷]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)应用题：例3【解答】(1)因为m＝4，所以y＝x＋80x≤4，24x－2x4.当0x≤4时，x＋8≥4，显然符合题意；当x4时，24x－2≥4⇒4x≤8.综上，0x≤8.所以自来水达到有效净化一共可持续8天．(2)由y＝m·f(x)＝mx4＋2m0x≤4，6mx－2x4知在区间(0,4]上单调递增，即2my≤3m，在区间(4,7]上单调递减，即6m5≤y3m，所以6m5≤y≤3m.为使4≤y≤10恒成立，只要6m5≥4且3m≤10即可，即m＝103.所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m应该为103.练习：【解答】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x20，13－，20≤x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x20，13x200－x，20≤x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋200－x22＝100003.当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时2012-2013铁富高中二轮复习专题一函数与导数第3课时分段函数（2）姓名班级一、教学目标：解决分段函数求值、方程、不等式、单调性等问题。二、典例解析问题4、分段函数的求值例4、已知)(xf＝)0.(0)0(,)0(,1xxxx求(((3)))fff的值练习：1、设函数10),5(10,3)(xxfxxxf，则)5(f＝________.2、已知函数132(0)()3(01)log(1)xxfxxxx,则{[()]}fffa(a0)=3、（12江苏）设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，．若f(21)=f(23)，则3ab的值为问题5、分段函数的方程及不等式例5、1.[2011·福建卷]已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，实数a的值等于2.设2),1(log2,2)(231xxxexfx，则不等式2)(xf的解集为练习：1、（11江苏）已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1()1(afaf，则a的值为2、已知函数f(x)＝)0(),(log)0(,log212xxxx，若f(a)f(-a),则实数a的范围为3、（10江苏）已知函数01012x,x,x)x(f,则满足不等式)x(f)x(f212的x的范围是________4.若f(x)是定义在[-1,0)(0,1]的奇函数，当x(0,1]时，f(x)=1-x,则不等式f(x)f(-x)+1的解集为问题6、分段函数的单调性例6、若f(x)＝axx1，4－a2x＋2x≤1是R上的单调递增．．函数，实数a的取值范围为________回顾：在处理分段函数的单调性时，不光要考虑到每一段函数为单调，还要考虑到分界点处也要“单调”。（即分界点处函数值大小关系）练习：1.已知函数f(x)=)0(,)0(,3xaxaxx(a0且a1)是R上减函数，则实数a的范围为2.已知函数f(x)=)1(,log)1(,4)13(xxxaxaa是R上单调减函数，则实数a的范围为3.已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx＋1，x0.若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是________．