一级动力学反应模型.

第4章常微分方程模型4.1节一级动力学反应模型4.1.1一级动力学反应模型及其性质一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程ddxtkx(4.1.1)其中t为时间，x=x(t)为t时刻系统中反应物的含量，一阶导数ddxt是反应速率，比例系数k是反应速率常数，k0，负号表示反应物的含量在衰减.一级动力学反应的数学模型(4.1.1)式有很多应用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸收与排除、污染物降解等.4.1.1一级动力学反应模型及其性质在初始时刻0t，设反应物的含量为0x.(4.1.1)式满足初始条件00()xtx的特解为00()ekttxtx(4.1.2)(4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时间衰减.4.1.1一级动力学反应模型及其性质半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应降低到初始值的一半所消耗的时间，记为τ或12t.在(4.1.2)式中，令0tt且0()2xtx，则002ekxx所以ln2k(4.1.3)所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无关的常数.t=0t=tx一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期x=x0x=x0/2图4.14.1.2碳-14测年法当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是“这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展新技术来考证古物的年代.在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14定年法”最为普遍.它的原理是根据生物体死亡之后，体内碳-14衰减的速率来估计年代.美国化学家威拉得·法兰克·利比（WillardFrankLibby）因在20世纪40年代发明碳-14定年法而于1960年获得诺贝尔化学奖.4.1.2碳-14测年法同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和质子，但却有不同数目的中子.放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出射线而衰变形成稳定的元素.有放射性的同位素被称为放射性同位素.放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰变速率与放射性同位素的含量成正比.所以放射性同位素都具有非常稳定的半衰期.4.1.2碳-14测年法碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本.自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%）、碳-13及碳-14（极少）.碳-12和碳-13属稳定型，碳-14具有放射性.碳-14是由宇宙射线撞击空气中的氮原子而产生，衰变方式为β衰变，碳-14原子转变为氮原子.碳-14的半衰期长达5730年，考古学家就是根据碳-14的半衰期计算年代.4.1.2碳-14测年法碳-14与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中，生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳-14，且与大气中的碳-14维持恒定.但是一旦生物体死亡，体内的碳-14无法补充，每隔5730年就会减少一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14浓度，就可以推算出生物体于何时停止补充碳-14，也就是生物体已死亡多久的时间.碳-14定年法只适用于测定距今70000年内的古物所属的年代.4.1.2碳-14测年法因为碳-14的半衰期为τ=5730年，所以根据(4.1.3)式可计算得到k=0.000121，由此可知碳-14的衰变服从公式00.0001210()ettxtx(4.1.4)x=x(t)是古物中的碳-14在时刻t的剩余量，00()xxt.例4.1.1辽东半岛的古莲籽在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出的古莲籽，至今大部分还能发芽开花.现测得出土的古莲籽中碳-14的剩留量占原始量的87.9%，试推算古莲籽生活的年代.4.1.2碳-14测年法例4.1.1辽东半岛的古莲籽解答记发掘出古莲籽的时间为t年，古莲籽生活的年代为0t年，则根据测量结果，有0()0.879()xtxt(4.1.5)由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有00.000121()e0.879tt所以01065.9tt，即古莲籽生活的年代大约在发掘时间之前1066年.4.1.2碳-14测年法例4.1.2巴比伦的木炭1950年在巴比伦发现一根刻有汉穆拉比王朝字样的木炭，当时测定，其碳-14原子的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐烧成的木炭中碳-14原子的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉穆拉比王朝所在年代.解答记发现汉穆拉比王朝木炭的时间为t=1950年，汉穆拉比王朝所在年代为0t年，根据(4.1.1)式，有1950dd(1950)txtkx，00dd()ttxtkxt.4.1.2碳-14测年法例4.1.2巴比伦的木炭解答（续）而根据测量结果，有01950dd4.09dd6.68tttxtxt所以0(1950)()4.096.68xxt，再根据(4.1.4)式，有00.000121(1950)e4.096.68t解得02104.3t(年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前21世纪.4.1.5是真迹还是赝品？4.1.5是真迹还是赝品？1.历史背景荷兰画家梅格伦（HanvanMeegeren，1889—1947）是20世纪最著名的艺术品伪造者之一.在自己的创作遭到评论家的非议的情况下，为了证明自己的才能和骗取金钱，他发展出十分高明的伪造技术，伪造了一批17世纪荷兰著名画家的作品.他在1937年伪造17世纪荷兰著名画家维米尔（JanVermeer，1632—1675）的作品《以马午斯的门徒》（TheDisciplesatEmmaus），并假冒真迹出售，骗取了约30万美元（大约相当于现今的400万美元）.4.1.5是真迹还是赝品？1.历史背景第二次世界大战期间，梅格伦的另一幅假冒维米尔真迹的赝品经过辗转被德国纳粹元帅戈林收藏，德国战败后，经过盟军的追查，梅格伦于1945年5月在荷兰因涉嫌诈骗罪和通敌罪被逮捕入狱，他为了洗脱通敌罪名，很快就供认那幅被戈林收藏的画其实是他伪造的赝品，并在狱中绘制了他伪造的最后一幅赝品，向由专家组成的陪审团展示他的伪造技术，后于1946年4月被释放.4.1.5是真迹还是赝品？1.历史背景法庭组织了由多名国际专家组成的陪审团，判定梅格伦确实伪造了多幅赝品，于1947年11月宣判他伪造和诈骗罪名成立，判入狱一年.半个月后，他在服刑期满前夕突然心脏病发作，不久之后死于医院.虽然梅格伦死了，但是还有一些声称是维米尔真迹的油画需要鉴别真伪，包括《以马午斯的门徒》.直到1967年，位于美国匹兹堡的卡内基·梅隆大学的科学家借助“放射性测定年龄法”才证实那幅《以马午斯的门徒》是梅格伦伪造的赝品.4.1.5是真迹还是赝品？2.模型建立和求解梅格伦知道17世纪的荷兰画家使用白铅作为颜料的原料之一，所以他在伪造名画时也用了白铅.白铅含有放射性的铅-210(210Pb)和镭-226(226Ra)，它们都是铀-238(238U)的系列蜕变产生的放射性同位素，并且镭-226会经过系列蜕变产生铅-210.镭-226半衰期1602年，铅-210半衰期22.3年.记x(t)是单位质量的白铅中铅-210在时刻t的含量，0x为单位质量的白铅中铅-210在画作绘制时刻0t的含量.4.1.5是真迹还是赝品？2.模型建立和求解记r(t)是在时刻t单位时间内单位质量的白铅中镭-226蜕变成的铅-210的数量，因为我们只对300年左右的时间感兴趣，而镭-226的半衰期长达1602年，所以可以简化r(t)为一常数r.则列式得00dd,()xtkxrxtx，解得0()0()()ekttkxtrkxr(4.1.16)其中(ln2)22.30.031083k.（提示：可做变量替换()()ytkxtr）4.1.5是真迹还是赝品？2.模型建立和求解现在将卡内基·梅隆大学的科学家鉴别画作的时刻仍记为t.如果画作是真迹，已有约300年历史，则将k=0.031083及0300tt代入(4.1.16)式中，得9.32480(())ekxkxtrr经过测量，待鉴别的画作的镭-226的衰变率为r=0.8，铅-210的衰变率为kx(t)=8.5（均按每克铅白每分钟蜕变的原子数来计算），所以9.32480(8.50.8)e0.886338kx.4.1.5是真迹还是赝品？2.模型建立和求解也就是说，如果假设画作为真迹，则推算出在画作绘制时的铅-210的衰变率0kx高的出奇，不可能！于是可以判定其必为赝品.（科学家可以根据铅-210的衰变率计算白铅中的含铀量，白铅的含铀量是很低的，如果铅-210的衰变率高于3万，就可判定画作为赝品）4.1.5是真迹还是赝品？2.模型建立和求解换一个角度，如果画作为真迹，则将k=0.031083及0300tt代入(4.1.16)式中，得50()8.918510()kxtrkxr也就是说，经过300年后，铅-210的衰变率kx(t)与镭-226的衰变率r之间的差()kxtr不足300年前的衰变率之差0kxr的万分之一，即因为铅-210的蜕变被镭-226的蜕变所补足而得到平衡的缘故，kx(t)与r应该相当接近；4.1.5是真迹还是赝品？2.模型建立和求解而如果画作为赝品，则将k=0.031083及0300tt代入(4.1.16)式中，得0()0.39358()kxtrkxr也就是说，只经过30年，()kxtr仍有0kxr的39%，一般来说，0kx应该与r相差较大，以至于kx(t)与r仍然相差较大.经过测量，待鉴别的画作r=0.8，kx(t)=8.5，相差较大，可以判定为赝品.4.1.6排污量的估计1.问题提出（由全国大学生数学建模竞赛2005年A题改编）长江是我国第一、世界第三大河流，近年来，由于长江及其支流沿途的工农业和生活污水的大量排放，长江干流的水污染程度日趋严重,令人担忧.长江干流的主要污染物为高锰酸盐（CODMn）和氨氮（NH3-N）.表4.1给出了长江干流上其中两个观测站在2004年7月的水流量、水流速、高锰酸盐浓度和氨氮浓度，这两个站点之间的长江干流的长度为395公里.4.1.6排污量的估计1.问题提出通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水.一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低.反映江河自然净化能力的指标称为降解系数.事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2（单位：1/天）.4.1.6排污量的估计1.问题提出试根据表4.1的数据估计长江干流这一江段在2004年7月的主要污染物高锰酸盐和氨氮的排放量.表4.12004年7月的数据观测站点水流量(3m/s)水流速(m/s)高锰酸盐(mg/L)氨氮(mg/L)湖北宜昌南津关227001.43.20.16湖南岳阳城陵矶241001.54.20.364.1.6排污量的估计2.问题分析水中的污染物的降解过程可以简化成一级动力学反应，即假设每天污染物浓度的下降量与该污染物的浓度成正比，比例系数即降解系数.由于水流速度为1.4~1.5m/s，取平均值，即1.45m/s，也就是每天约125公里，而江段长度为395公里，所以江水平均只需大约3天时间就可以从宜昌流到岳阳，因此仅需要考虑两个站点在同一个月份测得的污染物指数.4.1.6排污量的估计2.问题分析由于不知道该江段内的众多支流及排污口的位置和排污量，无法精确计算江段的总排污量.但是，如果假设污染物集中在江段的开头，伴随着该江段新增加的水量，匀速的排放入长江干流，忽略污水和江水混合的时间，以污水和江水混合之后的污染物浓度作为初始条件，根据已知的该江段末尾的污染物浓度，反解出污染物的排放量.污染物集中在江段的开头排放入江，对该江段的污染影响最