专题一排列与组合

专题一排列与组合应用题一、知识提要1.排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑（2）以位置为主，特殊位置优先考虑（3）间接法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。2.排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。3.解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有：（1）特殊元素优先考虑安排的策略；（2）正难则反，等价转化的策略；（3）相邻问题捆绑处理策略；（4）不相邻问题插空处理策略；（5）定序问题、平均分组问题除法策略；（6）“小集团”排列问题宪政体后局部策略；（7）分排问题直排处理策略；（8）构造模型的策略。二、典型问题（一）排队问题例1.4男3女坐在一排，分别求下列各种排法的种数（1）某人必须在中间（2）某两人必须站在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲不在最左端且乙不能在最左端（5）甲乙两人必须相邻（6）甲乙两人不能相邻（7）甲乙两人必须相隔1人（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不能相邻（10）甲必须在乙的左边（11）4男不等高，按高矮顺序排列点评：排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”、“顺序固定”等问题。变式练习：1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有＿＿种，若甲乙丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有＿＿＿种。2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，不同的出场顺序有＿＿＿种。3、有6名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有＿＿＿种。（二）分组问题：1．弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略２．分组后是否需分配，若分配则需要排列．（先分组在排列）例２．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（１）分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。（２）平均分成三堆，每堆２本。（３）分给甲、乙、丙３人，一人一本，一人二本，一人三本。（４）平均分给甲乙丙三人，每人２本。（５）分给甲乙丙三人，每人至少１本。（三）放球问题例３．将四个编号为１、２、３、４的小球放入４个编号为１、２、３、４的盒子中。（１）有多少种放法？（２）每盒至少一球，有多少种放法？（３）恰好有一个空盒，有多少种放法？（４）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与合资的编号相同，有多少种放法？（５）把４个不同的球改成４个相同的球，恰有一个空盒，有多少种放法？（６）把４个不同的球改成２０个相同的球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解析：（１）44（２）为全排列问题，共有44A＝２４种方法（３）先将４个球分成三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子（４）１个球的编号与盒子编号相同的选法有14C种，当１个球与１个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余３个球的投放方法有２种，故共有142C＝８（种）（5）先从四个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下的两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有3143CC=12（种）放法。（6）（隔板法）先将编号1、2、3、4的4个盒子分别放入0、1、2、3、个球，再把剩下的14个球分成四组，即在14个球的中间13个空挡种放入三块隔板，共有313C=286种。例4．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻的2人之间至少有2个空位，共有几种不同的坐法？（2）一个长椅上共有7个座位，4人坐，要求3个空位中恰有2个空位相邻，有多少种不同的坐法？注意：空位是相同的元素，无顺序的。解析：（1）先将3人（用表示）与4张空椅子（用表示）排列如图，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子分为两类，（一）分开插入如图中箭头所示，从4个空挡中选出2个插入，有24C种插法，（二）是2张绑在一起同时插入，有14C种插法。再考虑3人可交换有33A种方法。共有213443()CCA=60（种）（2）（插空法）〔点评〕解决组合应用题的总体思路是：（1）整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空寂，以保证分步的不重复。（2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步步连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复。（3）辩证地看待“元素”与“位置”。元素和位置是解题者视具体情况而定的，比如有时把人看做“位置”，而作为看做“元素”，问题更容易解决。（4）注意要理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，常用逆向思维、等价转化、“间接法”等思想方法。(四)抽样问题例5.某班有40名学生，其中正、副班长各一名，现派5名学生完成一项工作。（１）共有多少种不同的选法？（２）正、副班长都必须参加，有多少种选法？（３）正、副班长只有一人参加，有多少种选法？（４）正、副班长最多有一人参加，有多少种选法？（５）正、副班长至少有一人参加，有多少种选法？（６）正、副班长不都参加，有多少种选法？若上题中选出五人分别完成不同的5项任务，结果如何？（五）涂色问题：先选色，在排列。例6（1）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分6个部分，如图示，现在栽种四种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同色的花，不同的栽种方法有＿＿＿种。（2）椭圆的长短轴把椭圆分成了4块，现用5种不同的颜色改4块涂色，要求共边的两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂法？（六）组数问题例7用数字0、1、2、3、4、5组成一下数字，分别求可组成的数字的个数。（１）四位数（２）无重复数字的四位数（３）无重复数字的四位偶数（４）无重复数字且能被5整除的四位数（５）无重复数字且能被3整除的四位数（６）无重复数字且能被6整除的四位数（７）将组成的无重复数字的四位数由小到大排列，问第85个数是多少（８）比3405小的数有几个？跟踪练习：1.（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种(B)18种(C)36种(D)54种2.（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种3.（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A）30种（B）36种（C）42种（D）48种4.（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种5.（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）8289AA（B）8289AC（C）8287AA（D）8287AC6.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）1447.（2010天津理数）(10)如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种【答案】D8.（2010全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种9.（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A）36（B）32（C）28（D）2410.（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.11.（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。12..（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.(用数字作答)参考答案1.【解析】B：本题考查了排列组合的知识∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有246C，余下放入最后一个信封，∴共有24318C2.【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.3.解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即2212116454432CCCCCC=42法二：分两类甲、乙同组，则只能排在15日，有24C=6种排法甲、乙不同组，有112432(1)CCA=36种排法，故共有42种方法4.解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AAA种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422AAAAA种方法故共有1008种不同的排法5.答案：6.解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232AA＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222AA＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C7.【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。（1）B,D,E,F用四种颜色，则有441124A种涂色方法；（2）B,D,E,F用三种颜色，则有334422212192AA种涂色方法；（3）B,D,E,F用两种颜色，则有242248A种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。8.9.解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×2232AA＝24种如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×2222AA＝12种共计12＋24＝36种答案：A10.解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题11.【答案】1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得221164212222CCCCAA两个两人组两个一人组，再全排列得：221146421422221080CCCCAAA12.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有1234CC种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有2134CC种不同的选法.所以不同的选法共有1234CC+2134181230CC种.【解析2】:33373430CCC