专题一第三讲二次函数基本初等函数及函数的应用

一、选择题1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，12)，则f(14)的值为()A．1B．2C．3D．4解析：设幂函数f(x)＝xα，把(4，12)代入得α＝－12，则f(x)＝x12－12，f(14)＝(14)12＝2.答案：B2．(2011·福州质检)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0]B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，又f(x)＝a(x－1)2－a＋c，所以a0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.答案：D3.设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B.12(12)a(12)bC．a2ab1D．log12blog12a0解析：依题意得ab－b2＝b(a－b)0，abb2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝(12)x在R上是减函数得，当0ba1时，有(12)0(12)b(12)a(12)1，即12(12)a(12)b，因此B正确；同理可知D不正确．答案：B4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx，xA，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以cA＝15①，所以必有4A，且c4＝c2＝30②，联立①②解得c＝60，A＝16.答案：D二、填空题5．(2011·陕西师大附中一模)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.由1a＋1b＝2，即logm2＋logm5＝2，得logm10＝2，∴m＝10.答案：106．函数y＝(13)x－log2(x＋2)在[－1,1]上的最大值为________．解析：函数y＝(13)x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f(－1)＝3.答案：37．已知函数f(x)＝log3(a－3x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是________．解析：法一：函数f(x)存在零点，即方程f(x)＝0有解，也就是方程log3(a－3x)＋x－2＝0有解．故log3(a－3x)＝2－x，所以a－3x＝32－x，也就是a－3x＝9×13x，整理，得(3x)2－a×3x＋9＝0.故a＝3x2＋93x＝3x＋93x，而3x＋93x≥23x×93x＝6(当且仅当3x＝93x，即x＝1时取得等号)，所以实数a的取值范围是[6，＋∞)．法二：函数f(x)存在零点，即方程f(x)＝0有解，也就是方程log3(a－3x)＋x－2＝0有解．故log3(a－3x)＝2－x，所以a－3x＝32－x.也就是a－3x＝9×13x，整理，得(3x)2－a×3x＋9＝0.令t＝3x0，则方程变为t2－at＋9＝0，由题意，知该方程至少有一正根，设方程的两根分别为t1，t2，则由根与系数之间的关系，可得t1t2＝90，故该方程有两个正根，所以有：Δ＝－a2－4×1×9≥0，t1＋t2＝a0，解得a≥6.答案：[6，＋∞)三、解答题8．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R?解：由题意知f(x)的图像是开口向下，交x轴于两点A(－3,0)和B(2,0)的抛物线，对称轴方程为x＝－12(如图)．那么，当x＝－3和x＝2时，有y＝0，代入原式得0＝a－32＋b－8×－3－a－ab，0＝a×22＋b－8×2－a－ab，解得a＝0，b＝8，或a＝－3，b＝5.经检验知a＝0，b＝8，不符合题意，舍去．∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减，所以，当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12.∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c，要使g(x)≤0的解集为R.则需要方程－3x2＋5x＋c＝0的判别式Δ≤0，即Δ＝25＋12c≤0，解得c≤－2512.∴当c≤－2512时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R.9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：(1)当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝60，0＜x≤100，62－0.02x，100＜x≤600.(2)设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100＜x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.∴y＝20x，0＜x≤100，22x－0.02x2，100＜x≤600.当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；当100＜x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.显然6050＞2000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．10．设函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解：∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1.(1)∵f(1)0，∴a－1a0.又a0且a≠1，∴a1，f(x)＝ax－a－x.∵f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna0，∴f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)f(4－x)．∴x2＋2x4－x，即x2＋3x－40.∴x1或x－4.∴不等式的解集为{x|x1或x－4}．(2)∵f(1)＝32，∴a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0.∴a＝2或a＝－12(舍去)．∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝32，∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2.∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.