专题七《圆》

本资料来源于《七彩教育网》专题七《圆》●中考点击考点分析：内容要求1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念Ⅰ2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系Ⅱ3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算Ⅱ4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线Ⅱ5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用Ⅱ命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．●难题透视例1如图7-1，在O中，弦AD平行于弦BC，若80AOC，则DAB____度．【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．【思路点拔】∵∠B=12∠AOC，80AOC∴∠B=40°∵AD∥BC∴DAB∠B=40°【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB转化为∠ABC，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．例2如图8-2，AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）A．1000B．1100C．1200D．1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．【思路点拔】∵AB是的⊙O的直径∴ACB度数是1800∵BC=CD=DAADCBO图7-1图7-2∴BC=CD=DA∵∠BCD=001(18060)2=1200【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．例3已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求AB、CD间的距离是．【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O作EF⊥AB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝．【答案】填：7㎝或1㎝【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答．（2）过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，∵OC⊥AB，∴BD＝21AB＝21×16＝8cm．由题意可知，CD＝4cm．设半径为xcm，则OD＝（x－4）cm．在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2＋BD2＝OB2，∴(x－4)2＋82＝x2．∴x＝10．【答案】这个圆形截面的半径为10cm．【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补图7-5BA(A)(B)CDEF图7-3图7-6全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点．方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD了，则点D就是HT的中点．方法三：如图③，（原理同方法二）【答案】见图．【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法：充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．图7-7图7-8③②①DLHTO反面DLHTO反面反面OTHLCEFGD例6如图7-9，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O与点F．（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．【思路点拔】（1）（方法1）连接DO，∵OD是△ABC的中位线，∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC（方法2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC，∵BD＝CD，∴AB＝AC（方法3）连接DO∵OD是△ABC的中位线，∴OD=21AC，OB=OD=21AB，∴AB=AC（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C为锐角∵AC和⊙O交于点F，连接BF，∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC为锐角三角形【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．例7如图7-13，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．（1）求证：AH·AB=AC2；（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明)．【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．【思路点拔】（1）连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC．∴ACAHABAC，即AH·AB=AC2．（2）连结FB，易证△AHE∽△AFB，∴AE·AF=AH·AB，∴AE·AF=AC2．(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)（3）结论AP·AQ=AC2成立．【答案】（3）结论AP·AQ=AC2成立．【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH·AB=AC2时，图7-9OFDCBA图7-13可将其先转化为ACAHABAC，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH∽△BAC，从而使得解题变得有的放矢．解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．●难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．●拓展演练一、选择题1．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm，点A与⊙O的位置关系时（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离3．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的两条弧是等弧④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知圆的半径为6．5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相离5．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC．BC．OC，那么下列结论中：①PC2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．AB是⊙O的直径，点D．E是半圆的三等分点，AE．BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A．43π－3B．23πC．23π－3D．13π二、填空题7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则bam（不取近似值）．11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8c