一维传热问题边界条件的处理

一维传热问题边界条件处理当计算区域的边界为第二，第三类边界条件时，边界节点的温度是未知量。为使内部节点的温度代数方程组得以封闭，有两类方法可以采用，即补充以边界节点代数方程的方法及附加原项法。这里将介绍边界节点代数方程的方法。对于无限大平板的第二类边界条件，采用泰勒展开法时，只要把边界条件BqxdXdT中的导数用差分表达式来代替即可，即kqxTTBMM111。上式的截差为一阶，而内点上如采用中心差分，则截差为二阶。为了得出具有二阶截差的公式，可以采用虚拟点法。在边界外虚设一点M1+1，这样节点M1就可视为内节点，其一阶导数即可采用中心差分：BMMqxTT21111为了消去TM1+1,由一维、稳态、含内热源的控制方程可得在M1点的离散形式：02211111SxTTTMMM从以上两式中消去11MT得，xqSxxTTBMM111其中2/xx，是节点M1所代表的控制容积的厚度。下面给出一个算例进行说明。设有一导热型方程，022TdxTd，边界条件为x=0,T=0;x=1,dT/dx=1。试将该区域4等分，用区域离散方法求出各节点温度。解：采用区域离散方法时，网格划分如下图所示，内点上采用中心差分。右端点采用二阶截差，离散方程为：0163332TT01633432TTT01633543TTT41323354TT编程解上述方程组得出每个节点的温度。方程代码如下（Fortran6.6)：PROGRAMMAINUSEIMSLIMPLICITNONEREAL::A(4,4)=(/2.0625,-1.0,0.0,0.0,&-1.0,2.0625,-1.0,0.0,&0.0,-1.0,2.0625,-1.0,&0.0,0.0,-1.0,2.0625/)!矩阵A的元素REAL::B(4,1)=(/0.0,0.0,0.0,0.25/)!矩阵B的元素REAL::T(4,1)!4个节点的温度矩阵!EQUATION:!2.0625T2-T3=0!-T2+2.0625T3-T4=0!-T3+2.0625T4-T5=0!-T4+2.0625T5=0CALLLIN_SOL_GEN(A,B,T)!A*T=B,求解TWRITE(*,(4F5.2))TSTOPENDPROGRAM0T1T3T21/41/2T5T413/4