一维波方程空间半离散化的边界可观性

一维波方程空间半离散化的边界可观性摘要：我们考虑在有界区间上具有齐次Dirichlet边界条件的一维波方程的空间半离散化。我们分析了边界可观性问题，也就是当网格尺寸0h时，通过观测边界处的能量，解的总能量能否被一致估计的问题。由于存在数值格式产生的高频谱导出的伪模式，我们证明不存在一致界。然而，在离散系统的低频谱生成的解子空间中，一致界是存在的。当0h时，这个有限维空间变大并最终覆盖整个空间。这样，当网格尺寸趋于零时，熟知的连续系统的可观性性质是离散观测估计的极限。我们考虑了有限差分和有限元两种半离散化。1.引言考虑一维波方程：(1.1)系统(1.1)在能量空间),0(),0(210LLLH中是适定的。确切地说，对任何),(10uu),0(),0(210LLLH，存在唯一解u。(1.1)解的能量由(1.2)给出，并且能量是关于时间守恒的，即：).0()(EtE众所周知，当时间满足LT2，解的总能量可以通过集中观测一个边界点的能量一致估计，比如说在Lx处。确切地说，对任何LT2，存在0)(TC，使得对(1.1)的每个有限能量解(1.4)成立。当同时在两个端点进行观测时，上述不等式对所有的LT成立。在本文，我们主要研究不等式(1.4)。形如(1.4)的不等式和波方程的边界可控性密切相关。文[9]和[11]对波方程和板方程的相关问题进行了系统分析。在本文，我们研究几个波方程空间半离散化的(1.4)相似形式。为了说明上面提及的问题，让我们先考虑有限差分半离散化。给定NN，令)1/(NLh，引入网格(1.5)其中jhxj。然后，引入如下(1.1)的有限差分半离散化(1.6)在(1.6)中，撇代表关于时间的导数。由于根据边界条件有0,010Nuu，系统(1.6)是关于未知量Nuu,,1的N元线性微分方程组。显然，u是(1.1)的解，只要初始数据),(10jjuu是(1.1)的初值的一个近似值，)(tuj就是),(txuj的一个近似值。系统(1.6)的能量由(1.7)给出，这是连续能量E的离散化形式。容易看出，对于(1.1)的解，能量hE关于时间是守恒的，即：(1.8)本文的主要目标就是研究如下(1.4)的离散形式(1.9)注1.1让我们讨论一下为何选择htuN/)(作为法向导数),(tLux的近似。都知道泰勒展开式给出),(tLux的最简单逼近是或者，用上述记号表示为由于Dirichlet边界条件，考虑到01Nu，可有另一方面，就像我们将在2.1节看到的那样，当频率固定和0h时，对于每一个特征向量（特征函数），),(/)(tLuhtuxN。这也说明htuN/)(也是法向导数),(tLux的较好近似。根据不等式(1.4)，人们期望当时间LT2时，存在一个与h无关的常数C=C(T)，使得不等式(1.9)对于(1.6)的每个解和每个0h1成立。本文的第一个结果断定这是办不到的：定理1.1对任何T0，有(1.10)就像我们将要看到的那样，这是由数值格式产生的高频谱形成的伪模式造成的后果。在文[3-5]中由R.Glowinski等人早已发现这种现象，文[3-5]与高维波方程的边界精确可控性和所谓实用数值HUM方法有密切关系。在这些文献中，为了抑制高频谱的病态效应，提出两种方法：(a)当计算控制函数时，为了使二次泛函取得最小值，Tychonoff正则化过程被引入；(b)为了缩短离散系统解的分量的波长，滤波法被引入。通过各种数值实验说明这两种方法的有效性。为了证明定理1.1，我们分析了系统(1.6)的谱，并且对于相应于(1.6)的特征值的特征向量利用离散乘子法得到精确的观测不等式。为了证明定理1.1的正面部分，也就是在0h时，形如(1.9)的不等式是一致成立的，我们利用离散乘子法。如上所述，为了使这些不等式是一致成立的，必须剔除由数值格式产生的高频伪模式。利用(1.6)的低频谱生成的合适的(1.6)的解子空间，或者换句话说，(1.6)的解的Fourier展开的合适截断，这个问题可以解决。因而，我们的方法同上面提及的滤波法很相似。更详细地说，让我们考虑相应于(1.6)的特征值问题：(1.11)用)(,),(1hhN代表(1.11)的N个特征值：(1.12)这些特征值可以明确地计算出来：(1.13)相应于特征值)(hk的特征函数k也可以明确的算出来：(1.14)根据系统(1.11)的特征向量，(1.6)的解有如下的Fourier展开。确切地说，对于合适的系数Rbakk,，(1.6)的每个解),,(1Nuuu能写成：(1.15)其中Rbakk,可由初值明确地给出。在详细研究(1.6)的解的观测不等式前，分析特征向量的边界观测是十分有意义的。如下引理给我们提供了解答：引理1.1对于系统(1.11)的任何特征向量，如下等式成立：(1.16)这个等式给出了特征向量的总能量和由量2|/)(|htuN表示的集中在端点x=L出观测到的能量的关系。另一方面，对所有0h和(1.11)的所有特征值，容易验证(1.17)但是，(1.17)并不能排除(1.16)右侧的的常数爆破的可能。事实上，容易验证(1.18)因而，爆破出现了。这也立即说明了定理1.1的结果。为了证明定理1.1的正面结果，我们不得不引出合适的(1.6)的解集。给定任何40，我们引入由相应于(1.11)的特征值(1.19)的特征向量生成的(1.6)的解集)(hC。更确切的就是(1.20)根据引理1.1，根据边界处的能量汇集，进入解集)(hC的每个特征向量的能量可以被一致估计。只要时间T足够大，如下结果确保不等式(1.9)对于(1.6)的解集)(hC中的每个解是一致成立的。定理1.2设40。则存在LT2)(，对所有)(TT和在解集)(hC中的每个解，存在),(TCC使得当0h时，(1.9)一致成立，此外(a)(b)注1.2定理1.2断言只要T足够大，一致观测不等式(1.9)在解集)(hC中成立。事实上，当4时，4)(T。这是由于当特征值趋于临界值4时，相连特征值的平方根的间隙趋于零。然而，当0时，观测常数)(T收敛到2L，2L是系统(1.1)的观测时间。根据这个结果，并注意到对于LT2和每个(1.6)如下形式的解(1.21)一致观测不等式(1.9)成立。其中)(h满足(1.22)这说明当0h时，原始系统(1.1)的可观性以离散系统(1.6)的(1.21)-(1.22)的形式的解的可观性的极限被恢复。也可以看出一致观测不等式(1.9)中的常数),(TC收敛到)2(2/LTL，)2(2/LTL是利用离散乘子法得到的连续系统(1.1)的观测常数(见[11])。注1.3容易看出系统(1.6)是可观的。由于它是常微分系统，对所有T0它是可观的(见[10])。因而，对所有h0和T0，存在),(hTCC使得(1.9)对于(1.6)的每个解成立。然而，为了得到一致观测不等式常数（当0h时），我们不得不滤掉高频部分（也就是考虑解集)(hC中的解）并取足够大的时间T。粗略地说，当0h时，只要滤掉高频解，定理1.2可以保证半离散系统是一致可观的。我们将给出定理1.2的两种证明方法。第一种是采用经典乘子法，这种方法常用于证明波方程和板方程的可观性(见[9,11])。第二种方法依赖于非调和Fourier级数中的经典Ingham不等式。你也许会认为这些结果的出现是由于我们选取了特殊的有限差分离散化导致的。但事实不是这样的。我们也考虑了有限元半离散化并得到了类似的结果，既有定理1.1的否定结果，也有定理1.2的正面结果。值得提及的是，我们此处解释的关于波方程的离散化出现的现象早已从具有剧烈震荡周期系数的一维波方程的可观性研究中被人们得知(见[1]和[2])。在这两种情形中，具有微局部结构或离散格式出生病态高频震荡的波的相互作用没有在连续模型中出现。下文安排如下：在第二节研究有限差分逼近。特别地，我们提出并证明引言中叙述的结果。在第二节研究有限元离散化。在第四节简要比较有限差分和有限元半离散化。2.有限差分半离散化在本节，我们详细分析在引言中讨论的波方程(1.1)的有限差分空间半离散化的可观性问题。首先，我们将进行详细的谱分析。特别地，我们证明引理1.1以及它的直接结果定理1.1。然后利用乘子法详细证明定理1.2.我们也指出如何利用非调和Fourier级数中的熟知结果证明同样的结论。2.1谱分析系统(1.6)的特征函数和特征值满足(2.1)这实际上是矩阵的特征值问题。可以精确算出系统(2.1)的特征值和特征向量。有(见[8],P.456):(2.2)和(2.3)特别地，可以看出离散系统的特征向量和连续系统的特征函数)sin(Lkx是相一致的。另一方面，对于固定的k，有(2.4)。这是连续系统的第k个特征值。引理2.1对于(2.1)的任意特征值相应的特征向量，如下等式成立：(2.5)。如果k和l是特征值lk对应的特征向量，有(2.6)。证明：用j乘以(2.1)将上述等式对于N,,2,1求和，则立即得到等式(2.5)（注意到等式(2.5)可以解释为),(),(A）。为了得到(2.6)式，需要指出的是由于A是对称矩阵，不同特征值对应的特征向量是正交的和A正交的，即0),(lk和0),(lkA。这样有(2.7)。和因而有换句话说(2.8)。根据(2.7)，上式和(2.6)等价。对于较小的时间段，由于在x=L处所产生的几乎不可区分的时间谐波与特征值密切相关，所以在分析边界可观性问题中连续特征值的间隙起着重要的作用。对于连续模型，我们有(2.9)。这样，间隙L/和频域无关。然而，就像我们将要看到的那样，在离散问题中，连续特征值的高频间隙逐渐增大并且当0h时，它和h是同阶的。我们有：并且考虑到LhN/)1(，有和可以得到：(2.10).因而对某个Nj，只要(2.11)成立，我们就有(2.12).这说明相应于指标NjNjNk,,2,1的第j个特征值间的距离是和h是同阶的，级相差一个随着j增大而增大的数乘因子。特别地，可以找到最大特征值间的距离的一个上界如下：反过来，对于较小特征值，还可以找到它的下界。事实上，(2.13).当k仍然有界或即使k无界但hk有上界L)10(，当0h时，上述不等式的右端收敛到L/。注意到L/是连续模型连续特征值平方根的间隙。2.2特征向量的边界可观性本节的目的就是证明引理1.1的等式(1.16)。根据(2.2)和(2.3)式中的特征向量和特征值的精确值，这个等式很容易直接证明。然而，我们将用乘子法来证明。首先，我们将特征向量规范化使其满足(2.14)现在(2.5)变为：(2.15)这样有和(2.16)用2/)(11jjj乘以等式(2.1)的两侧并将其从1加到N(注意这是乘子xx的离散版)。根据(2.14)和(2.16)在左侧有：在右侧我们有因而有(2.17)换句话说就是(2.18)结合(2.18)和(2.15)有这就完成了引理1.1的证明。注2.1在注1.1我们已经说明选择htuN/)(作为),(tLux逼近的合理性。根据(2.3)中特征向量的明显表达式，立即可以看出对任何固定的k，这是连续波方程第k个特征函数)(xk的法相导数。对任何固定的k，我们也可以在引理1.1的(1.16)式中取极限。然后得到等式然而注意到当)0(42hash时等式(1.16)退化。这也是一个在波方程数值逼近格式中由其导致的病态高频振荡的典型事例。2.3非一致可观性的证明本节用于证明定理1.1.就像在引言中指出的那样，它是引理1.1的直接结果。事实上，令u是相应于第N个特征向量的(1.6)的解，即：(2.19)根据引理1.1我们有(2.20)另一方面有(2.21)根据(2.20和(2.21)即可推出(2.22)然而根据(2.2):(2.23)结合(2.22)和(2.23)，定理1得证。2.