专题三三角函数专题学生版

专题三、三角函数及其向量一、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（9）掌握向量的加法和减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算．（10）理解两个向量共线的充要条、平面向量的坐标的概念（11）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（12）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．二、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容以选择、填空、解答题形式进行考查，且难度不大，从近三年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性、周期、最值、对称性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）解斜三角形的问题。3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解；在解斜三角形问题中，解题思路是合理运用正弦、余弦定理来解题。4.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期、单调性。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。三、练习题1.选择题1、（２００８浙江理）若cos2sin5,则tan=()（A）21（B）2（C）21（D）22、（2007全国卷1理1）是第四象限角，5tan12，则sin（）A．15B．15C．513D．5133、(2008天津文)设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A．abcB．acbC．bcaD．bac4、2010全国卷2文数）（3）已知2sin3，则cos(2)=（A）53（B）19（C）19（D）535（2010福建文数）2．计算12sin22.5的结果等于()A．12B．22C．33D．326、2010全国卷1文数）(1)cos300(A)32(B)-12(C)12(D)327（2010全国卷1理数）(2)记cos(80)k,那么tan100A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk8、(2008山东文、理)函数ππlncos22yxx的图象是（）9、(2008天津文)把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，10（２００８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是()（A）0（B）1（C）2（D）411.（2010浙江理数）（9）设函数()4sin(21)fxxx，则在下列区间中函数()fx不．存在零点的是（A）4,2（B）2,0（C）0,2（D）2,412.（2010浙江理数）（4）设02x＜＜，则“2sin1xx＜”是“sin1xx＜”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件13.（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像（A）向左平移4个长度单位（B）向右平移4个长度单位yxπ2π2Oyxπ2π2Oyxπ2π2Oyxπ2π2OA．B．C．D．（C）向左平移2个长度单位（D）向右平移2个长度单位14（2010陕西文数）3.函数f(x)=2sinxcosx是(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数15（2010辽宁理数）设0,函数y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）23(B)43(C)32(D)316（2010重庆文数）下列函数中，周期为，且在[,]42上为减函数的是（A）sin(2)2yx（B）cos(2)2yx（C）sin()2yx（D）cos()2yx17（2010重庆理数）已知函数sin(0,)2yx的部分图象如题（6）图所示，则A.=1=6B.=1=-6C.=2=6D.=2=-618、（2010四川理数）（6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A）sin(2)10yx（B）sin(2)5yx（C）1sin()210yx（D）1sin()220yx19（2010天津文数）5yAsinxxR66右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将ysinxxR（）的图象上所有的点(A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(B)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C)向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D)向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变20.（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.21（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）015022．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为()A．0B.π6C.π3D.π223．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b2．填空题1、（2008北京文）若角α的终边经过点P(1,-2),则tan2的值为.2．已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．3．(2009·海南)y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图，则φ＝________.4．函数f(x)＝3cos25x＋sin25x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．5．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．6．在△ABC中，若sinA＝35，cosB＝513，则sinC＝________.7．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.8．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.3．解答题1、已知函数xxxxfcossinsin3)(2（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）求函数2,0)(xxf在的值域.2、已知向量a＝(cos23x，sin23x)，b＝(2sin2cosxx，)，且x∈[0，2]．（1）求ba（2）设函数baxf)(+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。3、在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且10103cos,21tanBA（1）求tanC的值;（2）若⊿ABC最长的边为1，求b。4．已知2(2sin,)OAaxa，(1,23sincos1)OBxx，O为坐标原点，0a，设()fxOAOBb，ba．（1）若0a，写出函数()yfx的单调递增区间；（2）若函数()yfx的定义域为[,]2，值域为[2,5]，求实数a与b的值．5．(2010·广东)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A0，x∈(－∞，＋∞)，0φπ)在x＝π12时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f23α＋π12＝125，求sinα.6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．7．(2010·安徽)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinπ3＋Bsinπ3－B＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB→·AC→＝12，a＝27，求b，c(其中bc)．8．已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈0，π2，求：(1)a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．9（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD。10、（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．11、（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.12、（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问